Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа x₁, x₂, ..., x_nϵR такие, что b=x₁a₁+...+x_na_n. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов a₁, ..., a_n матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что rang A = rang B.

Достаточность

Пусть rang A = rang B = r. Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как rang B = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.