§2. Гипотеза о равенстве выборочной средней и гипотетического математического ожидания нормального распределения.

Случайная величина X имеет нормальное распределение. a – неизвестно, но есть основание предполагать, что a=a₀.

1. σ² – известна.

Пусть из генеральной совокупности извлечена объёма n. Требуется проверить нулевую гипотезу

H₀: a=a₀

H₁: a≠a₀

В качестве статистического критерия возьмём .

При использовании этой статистики область принятия гипотезы задаётся неравенством , (*)

область отклонения (двусторонняя критическая область) имеет вид .

По выборке вычисляется . Если это значение удовлетворяет неравенству (*), то гипотеза H₀ принимается, в противном случае H₀ отклоняется.

H₀: a=a₀

H₁: a=a₁>a₀

В этом случае критическая область – правосторонняя: . Область принятия гипотезы: .

H₀: a=a₀

H₁: a=a₁<a₀

В этом случае критическая область – левосторонняя: . Область принятия гипотезы: .

2. σ² – неизвестна.

Критерий проверки гипотез представим в виде таблицы:

H0	Статистический критерий	H1	Область принятия гипотезы H0
a=a0		a≠a0	; (-tα,tα) - двусторонняя критическая область
		a=a1>a0	; (-∞,t2α) - правосторонняя критическая область
		a=a1<a0	; (-t2α,+∞) - левосторонняя критическая область

Замечание: принятие основной гипотезы H₀ не означает, что H₀ является единственно подходящей, а только то, что H₀ не противоречит выборочным данным, и нет оснований не принять H₀.

Пример.

Фирма утверждает, что её изделие имеет срок службы 2900 часов. Для выборки из 50 изделий оказалось, что средний срок службы часов. При исправленном среднем квадратическом отклонении S=700 часов проверить нулевую гипотезу H₀ при 5%-м уровне значимости α=0,05.

Решение.

H₀: a=2900

H₁: a<2900

a₀=2900; n=50; ч; S=700 ч; α=0,05.

1)

2) по таблице критических точек распределения Стьюдента найдём значение критической точки для односторонней (левосторонней) критической области при n-1=50 и 2α=0,1:

Ответ: Значение статистики, вычисленное по выборке, попадает в критическую область, поэтому гипотеза H₀ не принимается.

§3. Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

Задача сравнения дисперсий возникает тогда, когда следует сравнить точность приборов, методов измерений и т.д. Предпочтительнее тот прибор или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. Пусть генеральные совокупности X и Y имеют нормальное распределение.

По независимым выборкам из этих совокупностей объёмом n₁ и n₂ вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Задан уровень значимости α.

Требуется проверить гипотезу

Статистический критерий проверки: , .

Эта статистика имеет распределение Фишера со степенями свободы n₁-1 и n₂-1. Область принятия гипотезы определяется неравенством .

Критическую точку находят по таблице критических точек распределения Фишера по уровню значимости α и числам степеней свободы n₁-1 и n₂-1. Если проверяется та же нулевая гипотеза, но альтернативная гипотеза – другая.

В этом случае область принятия гипотезы определяется неравенством .

Критическая область будет двусторонней, но можно использовать только правостороннюю критическую область.

Точку находят по уровню значимости и заданным степеням свободы n₁-1 и n₂-1. Если гипотезу H₀ принимают, то говорят, что различие исправленных выборочных дисперсий и статистически не значимо и за оценку общей дисперсии принимают .