§8. Эмпирические моменты распределения случайных величин.

Эмпирическим моментом порядка k называется среднее арифметическое значений k-х степеней разностей (x_i-C).

; - объём выборки.

C – произвольное постоянное число (ложный нуль).

Различают начальные и центральные эмпирические моменты.

Начальные эмпирические моменты, когда C=0: ; k=1: - начальный эмпирический момент 1-го порядка (выборочная средняя).

Центральные эмпирические моменты, когда : ; k=2: - выборочная дисперсия.

§9. Методы точечного оценивания параметров распределения.

1. Метод моментов.

Пусть вид закона распределения генеральной случайной величины f(x) известен, например, из соображений, связанных с существом задачи. В выражение плотности f(x) входит несколько параметров. Требуется найти точечные оценки этих параметров.

Метод моментов состоит в том, что точечные оценки неизвестных параметров распределения выбирают так, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим характеристикам (моментам) эмпирического распределения.

Пример.

Рассмотрим показательное распределение .

Это распределение зависит только от одного параметра λ. Найдём точечную оценку этого параметра.

Поскольку нам нужно найти оценку только одного параметра распределения, то достаточно составить только одно уравнение.

(1)

Приравниваем 1-й теоретический момент и 1-й начальный эмпирический момент,

Проинтегрируем это выражение по частям по формуле .

.

Подставим в (1): ; .

Если плотность распределения f(x) зависит от двух параметров, то для отыскания их оценок составляют два уравнения. К уравнению (1) добавляют уравнение, в котором приравнивается 2-й центральный момент теоретического распределения, т.е. генеральная дисперсия и 2-й центральный момент эмпирического распределения, т.е. выборочная дисперсия D_в или исправленная выборочная дисперсия S².

Пример.

Пусть известно, что статистическое распределение, заданное интервальным рядом (см. табл. §6), подчинено нормальному закону распределения: .

Ii	(-4,-3)	(-3,-2)	(-2,-1)	(-1,0)	(0,1)	(1,2)	(2,3)	(3,4)
mi	6	25	72	133	120	88	46	10
		0,05	0,144	0,266	0,24	0,176	0,092	0,02

; n=500

Найти точечные оценки параметров a (мат. ож.) и σ (ср. квадратическое откл.).

- середина интервала,

Ответ: ; .

2. Метод наибольшего правдоподобия.

В основе метода лежит понятие функции правдоподобия. Пусть X – генеральная случайная величина и x₁, x₂, …, x_n – конкретная выборка из генеральной совокупности. Известен вид распределения, но неизвестны его параметры. Найти оценки неизвестных параметров распределения.

Обозначим , где θ – оцениваемый параметр.

1. X – дискретная случайная величина. Функцией правдоподобия в этом случае называют функцию . При фиксированном θ функция правдоподобия – это вероятность или мера правдоподобия набора x₁, x₂, …, x_n. Чем вероятнее наблюдать выборку x₁, x₂, …, x_n, тем большее значение имеет функция , поэтому за точечную оценку параметра θ принимают такое его значение θ*, при котором функция L имеет максимум. Такую оценку называют оценкой наибольшего правдоподобия. Если L(θ) имеет точку максимума, то и lnL(θ) имеет точку максимума, т.е. их максимумы совпадают, поэтому вместо L(θ) используют lnL(θ) и находят точку максимума, т.к. это технически проще и удобнее.

2. X – непрерывная случайная величина. , и предполагаем, что функция плотности f(x_i,θ) известна.

Пример.

Найдём методом наибольшего правдоподобия оценку параметра λ в распределении Пуассона.

Рассмотрим составной опыт из r независимых опытов. Каждый опыт имеет 2 исхода: успех – p, неудача – (1-p), всего n составных опытов.

, где x_i – число успехов в i-м составном опыте, .

Составим функцию правдоподобия

.

Будем рассматривать эту функцию правдоподобия как функцию одного параметра λ, и найдём максимум функции .

1. Находим критическую точку: ,

; при получим , или .

2. Проверяем достаточное условие существования экстремума:

.

Ответ: .