Глава 5. Дисперсионный анализ.

§1. Понятие о дисперсионном анализе.

Пусть генеральные совокупности X₁, X₂, …, X_p имеют нормальное распределение, их дисперсии неизвестны, но одинаковы. Требуется при заданном уровне значимости по выборочным средним проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.

H₀: M(X₁)=M(X₂)=…=M(X_p)

Для сравнения нескольких средних принимается метод, который основан на сравнении дисперсий и поэтому называется дисперсионным анализом. На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы оценить влияние некоторого качественного фактора F, имеющего p постоянных уровней на случайную величину X. Конкретные значения фактора называются его уровнями.

Например:

X – вес урожая

F – виды удобрений

Идея дисперсионного анализа заключается в сравнении факторной дисперсии, т.е. дисперсии, обусловленной воздействием фактора F c остаточной дисперсией, которая вызвана случайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на случайную величину X. В этом случае групповые средние на каждом уровне будут отличаться от общей средней. В более сложных случаях исследуют воздействие нескольких факторов на нескольких уровнях и выясняют влияние отдельных уровней и их комбинаций (многофакторный анализ). Мы рассмотрим случай однофакторного анализа, когда на случайную величину X действует один фактор F, имеющий p постоянных уровней.

§2. Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений.

Пусть на нормально распределённую случайную величину X действует фактор F, имеющий p постоянных уровней, на каждом уровне q наблюдений, всего наблюдений x_ij, i – номер испытания (i=1,2,…,q), j – номер уровня фактора (j=1,2,…,p).

x_ij – наблюдение на j-м уровне с номером i.

№ наблю-дения	Уровни фактора F
	F1	F2	…	Fp
1 2 … q	x11 x21 … Xq1	X12 x22 … Xq2		X1p X2p … Xqp
Групповые средние

Будем называть общей суммой квадратов отклонения вариант от общей средней .

Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней.

Остаточной суммой квадратов отклонений вариант группы от своей групповой средней.

Можно доказать, что .

§3. Общая факторная и остаточная дисперсии.

Общую выборочную дисперсию найдём, разделив на число наблюдений : . Эта оценка является смещённой.

Чтобы получить несмещённую оценку общей выборочной дисперсии: .

Разделив и на соответствующее число степеней свободы, получим факторную и остаточную дисперсии: и .

§4. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа.

Пусть требуется при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нескольких средних (p>2), нормальных в совокупности с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями. Решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсии по критерию Фишера.

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких групповых средних верна, в этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещёнными оценками неизвестной генеральной дисперсии и поэтому различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию Фишера, то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.

Вывод: если гипотеза о равенстве групповых средних верна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних неверна, т.е. групповые средние отличаются друг от друга значимо, тогда с возрастанием расхождения между групповыми средними будет увеличиваться факторная дисперсия, и будет увеличиваться отношение . . В итоге F>F_кр и, следовательно, гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий будет отвергнута.

Вывод: если гипотеза о равенстве групповых средних неверна, то неверна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий. Справедливо и обратное утверждение: если верна (неверна) гипотеза о дисперсиях, то верна (неверна) гипотеза о равенстве средних.

Чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию Фишера нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий. В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

51