§3. Непрерывная двумерная случайная величина.

Случайная величина (X,Y) называется непрерывной, если непрерывны обе её составляющие. Пусть функция распределения F(x,y) всюду непрерывна и имеет всюду непрерывную частную производную .

Определение. Функция называется плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y). Графиком этой функции f(x,y) является некоторая поверхность, которую называют поверхностью распределения.

В ероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

(вероятность попасть в область)

(*)

Свойства функции f(x,y).

1. Рассмотрим на плоскости прямоугольник R со сторонами Δx и Δy, примыкающий к точке (x₁,y₁) и со сторонами, параллельными осям OX и OY.

И спользуя (*), подсчитаем

Получим - отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник к площади этого прямоугольника.

Перейдём в этом равенстве к пределу .

Из этого равенства следует, что с точностью до бесконечно малых более высокого

порядка, чем Δx и Δy } .

Р ассмотрим на плоскости произвольную область D, и разложим её на n ячеек прямыми, параллельными оси OY и оси OX на расстоянии Δx и Δy друг от друга соответственно.

Т.к. события, состоящие в попадании случайной точки в каждую из ячеек e_i, несовместны, то мы можем использовать аксиому 3:

- интегральная сумма для f(x,y) по области D.

Перейдём в этом равенстве к пределу при и :

Мы получили возможность выразить функцию F через функцию f: .

2. 

3. 

Пример.

З адана плотность распределения . Найти F(x,y) и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Решение.

Ответ: .

Пусть известно f(x,y)

f₁(x), f₂(y) - ?

Теорема.

Непрерывные случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда : X и Y – независимы .

Доказательство.

Известно, что X,Y – независимые случайные величины. Дифференцируем это равенство сначала по x, затем по y.

Известно, что

Дважды интегрируем: по x, затем по y

,

т.е. , и X и Y – независимы.

Пример.

Задана функция плотности для двумерной случайной величины

Зависимы ли эти случайные величины?

Решение.

, т.е. X и Y – независимые случайные величины.

Определение. Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении другой составляющей Y=y называется отношение .

Аналогично .

; .

Мы можем найти закон распределения двумерной случайной величины (X,Y), если известен закон распределения одной из составляющих и условный закон распределения другой составляющей.

§4. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Ковариация случайных величин X и y. Коэффициент корреляции.

Для двумерной случайной величины (X,Y) важнейшими числовыми характеристиками являются математические ожидания M(X) и M(Y) и дисперсии D(X) и D(Y).

Совокупность M(X) и M(Y) является характеристикой положения случайной точки (X,Y) – это средняя точка, около которой происходит рассеяние точек (X,Y). Дисперсии D(X) и D(Y) характеризуют рассеяние случайных точек вдоль оси OX и OY. Важнейшей характеристикой условного распределения является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x называют сумму произведений возможных значений случайной величины Y на их условные вероятности: .

Для непрерывной случайной величины: .

Аналогично и для .

Пример.

Найти условное математическое ожидание случайной величины Y на основе заданной таблицы распределения двумерной случайной величины. - ?

X Y	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

;

;

Ответ: 14,36.

Для случайных величин X и Y характеристикой зависимости является математическое ожидание произведения центрированных случайных величин:

- ковариация случайных величин X и Y.

Приведём формулы ковариации для непрерывных и случайных величин.

Дискретная случайная величина: - двойная сумма (суммируется по одной величине, затем по другой).

Непрерывная случайная величина: .

для непрерывной и дискретной случайных величин.

Теорема.

Если случайные величины X и Y независимы, то их ковариация равна нулю.

X,Y – независимы

Доказательство.

X,Y – независимы

Если , то это является признаком наличия зависимости между X и Y.

зависит от размерностей случайных величин X и Y, и при различных единицах измерения этих случайных величин мы будем получать разные значения для . Это затрудняет сравнение для различных двумерных случайных величин, поэтому вводится безразмерная характеристика - коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если . Если , то X и Y – некоррелированные. Если X,Y – коррелированные, то они и зависимы.

Если X,Y – независимые, то они некоррелированные.

Если X,Y – некоррелированные, то не следует независимость.

Все значения коэффициента корреляции принадлежат , причём, если случайные величины:

1. X и Y связаны линейной зависимостью (Y=α+βx), .

2. X,Y – независимые, то .

3. Для всех остальных случаев .