Математическая статистика.

Глава 1. Выборочный метод.

§1. Основные задачи математической статистики.

Математическая статистика занимается разработкой методов сбора и анализа эк­спериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений с целью выявления закономерностей, которым подчинены эти явления.

Основные методы и приёмы рассуждений в математической статистике – те же са­мые, что и в теории вероятностей, т.к. задачи математической статистики в известной мере являются обратными задачам теории вероятностей.

В теории вероятностей математическая модель считается заданной, требуется найти вероятности событий, законы распределения случайных величин и их числовые характеристики.

В математической статистике исходят из известных реализаций случайных собы-тий, называемых статистическими данными. Математическая статистика разрабатывает методы, которые позволяют по этим статистическим данным подобрать подходящую теоретико-вероятностную модель.

Перечислим основные задачи, которые решает математическая статистика:

1. Определение закона распределения случайной величины по статисти-чес­ким данным.

2. Проверка статистических гипотез. Например, согласуются ли экспери-мен­тальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет за­кон распределения с функцией распределения F(x). Являются ли случай­ная величина X и случайная величина Y независимыми.

3. Статистическое оценивание параметров распределения.

§2. Генеральная совокупность и выборка.

Пусть имеется совокупность однородных объектов. Изучается распределение ка-кого-либо признака, характеризующего эти объекты. Например: если есть партия дета-лей, то таким признаком может быть стандартность, вес, геометрические размеры и т.д.

Изучаемый признак является случайной величиной, значение которой меняется от объекта к объекту. Чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или её числовых характеристиках, нет необходимости обследовать каждый объект совокупности. Это физически невозможно, если совокупность содержит большое число объектов, кроме того, проведение каждого эксперимента может быть связано с его дороговизной и сложностью. Поэтому отбирают из всей генеральной совокупности огра-ниченное число объектов и подвергают их изучению. Совокупность объектов, из которых производится выборка, или весь мыслимый набор наблюдений, описывающих случайную величину, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность – это гене-ральная случайная величина X(e) и связанное с ней вероятностное пространство (E, K, P).

Генеральная совокупность может содержать конечное число или бесконечное число элементов.

Случайно отобранные из генеральной совокупности объекты или совокупный ре-зуль­тат n независимых наблюдений за генеральной случайной величиной называется выборкой.

Различают выборку конкретную и случайную.

Конкретная выборка – это конкретный набор чисел x₁, x₂, …, x_n, полученных в ре-зуль­тате n независимых наблюдений над случайной величиной X.

Случайная выборка – это весь мыслимый набор конкретных выборок или последо-ва­тельность X₁, X₂, …, X_n случайных величин, независимых, одинаково распределённых, и рас­пределение каждой из этих случайных величин совпадает с распределением гене-раль­ной случайной величины X(e).

Пусть имеется куча камней, каждый камень имеет конкретный вес, т.е. вес камня – есть случайная величина X(e). Выберем из этой кучи n камней, найдём x₁, x₂, …, x_n – веса камней (конкретная выборка).

Расположим числа (*) в порядке возрастания их веса

Повторив процедуру, мы можем получить k конкретных выборок типа (*). В ящик №1 – самые лёгкие камни, №2 – более тяжёлые, …, №n – самые тяжёлые. В результате веса камней в каждом ящике будут являться случайными величинами, независимыми, одинаково распределёнными. В этом случае мы имеем случайную выборку: X₁, X₂, …, X_n. Сущность выборочного метода состоит в том, что по выборке, как по некоторой части генеральной совокупности, делается вывод о генеральной совокупности в целом.