Билет 1

Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.

Определение: Производной от функции в точке называется предел, к которому стремится отношение её приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Т.е., если определена в , то

Теорема: (необходимое условие существования производной)

Если функция имеет конечную в точке , то непрерывна в точке .

Доказательство:

При ,

Следовательно - непрерывна в точке .

Теорема доказана.

Замечание: обратное утверждение неверно, если функция непрерывна в точке , то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке.

Контрпример:

Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа, и слева.

Контрпример:

Геометрический смысл производной.

Теорема 1:

График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.

Доказательство:

Пусть существует значение f’( )-конечное, тогда

при

Секущая стремится к касательной.

=> ч.т.д.

Пусть существует невертикальная касательная => существует - конечный.

Секущая стремится к касательной.

=>

Теорема доказана.

Билет 2 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.

Если функция f имеет производную f΄(x_o) в точке x_o, то существует предел , где Δf=f(x_o+Δx)-f(x_o), , или , где A=f΄(x_o).

Определение:

Функция f дифференциируема в точке x_o, если её приращение представимо в виде:

, где AΔx=df. (*)

Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.

Если существует конечная производная f΄(x_o) в точке x_o, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.

В ерно и обратное: если функция f дифференцируема в точке x_o, т.е. её приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке x_o, равную A:

Геометрический смысл дифференциала:

A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям x_o и (x_o+Δx) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(x_o) и f(x_o+Δx). Приращение функции Δf=f(x_o+Δx)-f(x_o) в точке x_o равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δf=BD=DC+CB, где DC=tgαΔx=f΄(x_o)Δx и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке x_o:

DC=df=f΄(x_o)Δx.

При этом на долю второго члена CB приращения Δf приходится величина . Эта величина, при больших Δx, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx, когда Δx→0.

Билет 3

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

Пусть функция имеет производную в точке (конечную): .

Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : ,

и приращение в точке может быть записано в виде:

или (1) ,

ведь выражение понимается как функция от такая, что её отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение:

Определение.

Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение можно представить в виде: (2),

где А не зависит от , но вообще зависит от .