2.Определители и их свойства.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице. Обозначается

1. Определителем матрицы 1×1, состоящей из одного числа, будем считать само это число.

2. Определитель матрицы 2×2 вычисляется по формуле(сам)

3.Определитель 3 порядка так же

4.Определитель энного порядка

Свойства:

1.Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например:

8.Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например:

3. Обратная матрица. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется число (−1)ⁱ⁺^j M_ij, где M_ij — дополнительный минор.

Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется такая матрица, произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е. , AA^-1=E(единичная матрица)

Присоединенная матрица-матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

‑исходная матрица

К вадратная матрица , определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

Где А⁺— матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы и называется присоединенной матрицей по отношению к матрице .

Для нахождения обратной матрицы А^-1 применим алгоритм:

1.Найдем определитель матрицы А и убедимся, что он отличен от нуля, т.е. матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1.

2.Составим союзную матрицу .

3.Найдем произведение матриц А и А^* Оно равно и .

4.Составим обратную матрицу или .

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных, удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц.

О пределение. Система n линейных уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если определитель системы отличен от нуля .