10.Линейные части вероятностей для трех потоков событий в системах с отказом

Потоки:

1. входящих вызовов (описывается функциями V_k(t))

2. освобожденных линий (обслуживание вызовов) - (W_k(t))

3. 

Пример:

1.

Замечание: - пример ординарного потока

Определение:

Поток вызовов простейший, если

- это поток без памяти (без последействий, марковский);

- стационарный;

- ординарный

Данное определение простейшего потока соответствует двум другим.

Аналитические свойства вытекают из аналитических позиций данного определения.

2. - поток освобожденных линий (W_k(t))

Если линия занята, то вероятность, что она:

- освободится (успех)

- не освободится

Если занято k линий ( ), то P того,что:

1. ни одна не освободится (0 успехов в к испытаниях)

2. хотя бы одна линия освободится

3. ровно 1 линия освободится

4. поток освобождения ординарный

3.

(см. рисунок справа)

Входящие и выходящие потоки независимы.

1.

2.

3.

4. - ординарный.

11. Процессе гибели и размножения (пгр) и стационарное решение для систем с отказом

Утверждение: В случае системы с отказом состояние СО на момент времени t ( ) есть марковский ПГР с параметрами ; .

Доказательство:

1. То, что – марковский, вытекает из теоремы («поток освобождений линии является марковским, так как количество освобождений в промежутке не зависит от количества освобождений до этого промежутка»).

2. – ПГР.

1. за , , где

Первый поток	Второй поток
1	0
2	1
3	2
…	…

элементарных событий

2. за . , где

Первый поток	Второй поток
0	1
1	2
2	3
…	…

элементарных событий

3. 

, что и требовалось доказать – ПГР.

Стационарные решения:

, подставляем сюда значения параметров и многократно используем реккурентные соотношения

Нормировочное условие

Формулы Эрланга

Замечание: Формулы Эрланга получены в предположении о показательном распределении длин разговоров. Профессор Севастьянов показал, что они справедливы при любом законе распределения длин разговоров.//след. строка

12.Показатели эффективности для систем с отказом

1. Вероятность отказа = застать все линии занятыми = полной загрузке СО. Из формулы Эрланга при k=n.

Рассмотрим

- средняя доля времени, в течение которого были заняты все линии пучка.

- вероятность того, что вызов будет обслужен.

Для однолинейной системы n=1 .

Свойства :

- С ростом уменьшается.

- , то есть если велико, то настолько мало, что ей можно пренебречь и считать СО безотказной.

Расщепление входящего потока:

Пусть - простейший входящий поток с параметрами . Тогда , и - простейший с параметрами ( ) и

Следствия:

Коэффициент (вероятность) отказов=[средняя доля отказов за единицу времени]=[среднее число отказов (за единицу времени)]:[среднее число поступивших вызовов (за единицу времени)]=[Интенсивность потока отказов]:[Интенсивность входящего потока]

Коэффициент обслуживания=1-Коэффициент отказа=1-

Пусть поступило m вызовов за t.

-получат отказ

-будут обслужены

Среднее число отказов за t

Среднее число обслуженных вызовов за t

2. Среднее число занятых линий

- число занятых линий. . Следовательно:

по формуле Эрланга .

- коэффициент обслуживания.

Интерпретация

1. [интенсивность потока обслуженных вызовов]:[интенсивность поток обслуживания одной линии]. - пропускная способность системы (слева абсолютная, справа номинальная).

2. - среднее число обслуженных вызовов за ; - среднее число обслуженных вызовов за единицу времени; .

Смежные с показатели:

1. Среднее число свободных линий

Пусть - среднее число свободных линий, .

2. Коэффициенты загрузки (линии, СО).

Коэффициент загрузки объекта – средняя доля времени, отработанного данным объектом (вероятность того, что объект занят).

[суммарное время работы (за T)]:[суммарный фонд работы всех линий(за Т)]

Также - среднее время, отработанные одной линией за T. Следовательно, коэффициент загрузки СО совпадает с коэффициентом загрузки одной линии.

Применение коэффициента загрузки: среднее время работы отдельной линии за промежуток времени пропорционально длине этого промежутка, коэффициентом пропорциональности в данном случае является .

Коэффициент простоя ( ) – средняя доля простоя объекта (линии, СО).