20*) Модель парной регрессии.

В РА рассматриваются связи между одним фактором, называемым зависимым, и несколькими другими -независимыми. В зависимости от количества переменных различают парную и множественную регрессию. Построение модели парной регрессия заключается в нахождении уравнения связи двух показателей у и х, т.е. определяется как повиляет изменение одного показателя на другой. Х₁, Х₂…- экзогенные (независимые).

Предположим, что выбрана выборка парных значений (х₁, у₁) , (х₂,у₂) … (х_n,у_n) n-объем выборки.

Если объем выборки невелик,он может быть представлен графически

*График*

Если n велико, то одному и тому же значению x_i может соответствовать набор значений У, который должен иметь некоторое распределение (плотность кот показана на рисунке) со средним значением у_i с чертой и дисперсией σ. Полученный набор точек носит название поле корреляции или диаграмма рассеивания. Будем считать,что точки на диаграмме группируются вокруг некоторой прямой, т.е. между факторами Х и У существует линейная зависимость, которая может быть представлена У=α₀ + α₁Х + ε, где ε- случайная величина, кот учитывает воздействие других факторов и погрешностей измерения., α₀ и α₁ – параметры модели.

По данным выборки можем построить выборочную модель у (с крышечкой)= α₀ + α₁х

21)Оценка параметров модели парной линейной регрессиис помощью метода наименш.квадратов.рассмотрим зависимость между 2-мя факторами,предположим,что собрана выборка парных значений(х1,у1),(х2,у2)..(хn,уn) n-объем выборки.Если объем выборки мал,то его можно представить графически:у=а0+альфа1Х—теоритическая модель,у(с крышечкой)=а0+а1Х—выборочная моднль.Если n далеко,то одному и тому же значению хі может соответствовать набор значений У,который должен иметь некоторое распределение(рис)со средним значен. Ус(с крышкой) и дисперсией сигма.Полученный набор точек—поле корелляции.Будем считать,что точки на диограмме группируются вокруг некоторой прямой,т.е.между Х,У сущ. Линейная зависимость:у=альфа0+альфа1*Х+Е,где альфа1,2-параметры,Е-случайная величина,которая учитыв.воздействие других факторов.По данной выборке можно построить выборочную модель:у(с крышкой)=а0+а1*Х.Наилучшие оценки а0,а1,это оценки обладающ.3-мя требованиями:эффективностью,состоятельн.,несмещенностью м.б.полученны минимизацией суммы квадратов отклонения.уі(с крышечкой)—предсказан.по модели значен.уі(с крышечкой)=а0+а1хі; еі=уі-уі(с крышечкой)—отклонение.Если считать оценки параметров неизвестными,то ф-ия S(a0,a1)=сигма еі^2=cигма(уі-уі(с крышкой))^2.Необходим.условие минимума ф-ии:фигурная скобка «dS/da0=0;ds/da0=0»; S(a0,a1)=cигма(у1-а0-а1хі)^2; фигурная скобка “dS/da0=-2сигма(уі-а0-а1*хі)=0;dS/da1=-2сигма(уі-а0-а1*хі)*xi=0”.Преобразовав получім СЛУ а1 и а2:фигурная скобка «а0n+a1сигма xi=сигма yi;а0сигма хі+а1сигма хi^2=сигма хiyi” ;Разделів каждое уравненіе на n:фигурная скобка «а0+а1Х(с крышкой)=У(с чертой);а0*Х(с крышкой)+а1*Х(с чертой)^2=XY(с чертой)»--наз.система нормальн.уравнений,решив ее по ф-ле Крамера получим ф-лу для оценок системы коэфиц.:а1=(ХУ(с чертой)-Х(с чертой)У(с четой))/(Х(с чертой)^2-Х(с чертой)^2)—оценки по методу наименьших квадратов,для того чтоб они были лучшими,нужно выполнение условия Гаусса-Маркова:1)Отклонение еі—имеет норм. Распределение М(еі)=0-мат.ожідан. и D(еі)=сигма^2 2)имеет место условие постоянства дисперсии сигма^2=const для всех і 3)отклонения не крллелируют друг с другом reiey=0 4)Х-независ.переменная