7. Четность (нечетность) функции.

Функция   называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента  , принадлежащего области определения функции,    также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции  симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение  .

Функция   называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента  , принадлежащего области определения функции,   также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции  симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение  .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция   называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

• для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

• 

6. Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Функция   является обратной к функции  , если выполнены следующие тождества:

•  для всех 

•  для всех 

7. Сложная функция

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).

Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:

.

Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f₁(y₁),y₁ = f₂(y₂), …, y_n-1 = f_n(x), то

8.Основные элементарные функции

• Линейная функция y=kx+b;

• Степенная функция y=xⁿ;

• Квадратичная функция;

• Показательная функция (0 <a 1);

• Логарифмическая функция x (0 < a 1);

• Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x;

• Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Линейная функция.

y = kx + b

1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x

2. Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .

4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.

5. Асимптоты графика функции не существуют.

6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.

7. Функция не является ограниченной.

8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.

9. Точек перегиба не существует.

10. Не существует экстремальных точек.

y=kx+b (k<0) y=kx+b (k>0)