23.Определение эллипса и его каноническое уравнение.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости , сумма расстояний от каждой из которой до двух данных точек этой плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая ,чем расстояние между фокусами

MF1+MF2=2a

Корень( (a+c)²+y² )+Корень ((x-c)²+y^{2 )}=2a

Это и есть уравнение эллипса. Но его можно привести к более простому виду :

Это уравнение равносильно исходному уравнению. Это уравнение называется каноническим уравнение эллипса.

Эллипс-кривая второго порядка.

24. Определение гиперболы и ее каноническое уравнение.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

|MF1-MF2|=2aилиMF1-MF1=±2a, получим каноническое уравнение гиперболы:

, где b²=c²-a²

Где гипербола есть линия второго порядка

25.Определение параболы и ее каноническое уравнение.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p>0).

У²= 2px- каноническое уравнение параболы.

26.Матрицы и основные определения связанные с этим понятием( квадратная матрица, прямоугольная матрица, треугольная матрица, трапецеидальная матрица, диагональная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, транспонированная матрица, скалярная матрица).

Матрицей называется прямоугольная таблица чиселсодержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины)

Матрица записывается в виде:

Матрицу А называют матрицей размером mxn. Числа aij- элементы матрицы. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Матрица у которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной. Квадратную матрицу размера nxn, называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица у которой все элементы , кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица , у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Прямоугольная матрица - это матрица в которой число строк не равно числу столбцов. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается О.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной.

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

27.Действия с матрицами (сложение, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование матриц). Законы, которым эти действия удовлетворяют.

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами.Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. дляматриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В c_ij = a_ij + b_ij

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.

В = k × A

bij = k × aij.

Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А;

2. А + (В + С) = (А + В) + С;

3. А + 0 = А;

4. А - А = 0;

5. 1 × А = А;

6. α × (А + В) = αА + αВ;

7. (α + β) × А = αА + βА;

8. α × (βА) = (αβ) × А;

, где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что

сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,

т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А × (В × С) = (А × В) × С;

2. А × (В + С) = АВ + АС;

3. (А + В) × С = АС + ВС;

4. α × (АВ) = (αА) × В;

5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;

6. (АВ)Т = ВТАТ;

7. (АВС)Т = СТВТАТ;

8. (А + В)Т = АТ + ВТ;

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля,

2. Прибавление одной строки, умноженной на число, к другой строке,

3. Перестановка местами двух строк.