
- •1.Декартова и полярная системы координат на плоскости. Формулы,связующие координаты точки в этих системах. Декартова система координат в пространстве.
- •2.Понятие геометрического вектора. Основные определения связанные с этим понятием (длина вектора, равенство векторов, нуль-вектор, коллинеарные и компланарные векторы, орт вектора).
- •3.Линейниые операции с геометрическими векторами. Законы, которым удовлетворяют эти операции. Разность векторов. Коллинеарные векторы.
- •4.Деление отрезка в заданном отношении.
- •5. Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •6.Действия с геометрическими векторами в координатной форме.Признак коллинеарности векторов.
- •7.Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Признак ортогональности векторов.
- •8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя точками.
- •9. Направляющие косинусы вектора и их свойства.
- •10.Векторное произведение: определение ,вычисление и свойства.
- •11. Смешанное произведение: определение, вычисление, геометрический смысл.
- •12. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
- •13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов. Пучок прямых
- •18.Различные виды уравнений прямой в пространстве ( каноническое, параметрическое, общее уравнение прямой).
- •19.Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •20. Условия параллельности и перпендикулярности плоскости и прямой в пространстве.
- •21.Угол между прямой и плоскостью.
- •22.Окружность и ее уравнение.
- •23.Определение эллипса и его каноническое уравнение.
- •24. Определение гиперболы и ее каноническое уравнение.
- •25.Определение параболы и ее каноническое уравнение.
- •27.Действия с матрицами (сложение, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование матриц). Законы, которым эти действия удовлетворяют.
- •28. Определение определителя и его свойства.
- •29.Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.
- •30.Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.Способы вычисления обратной матрицы.
- •3) Способы вычисления обратной матрицы:
- •А) Метод Гаусса—Жордана
- •Б) с помощью матрицы алгебраических дополнений
- •В) Методы Шульца
- •31. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •3) Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •32)Система линейных уравнений и её решение. Различные формы записи линейных уравнений. Определение однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определённой и неопределённой систем.
- •А) Векторная форма записи
- •Б) Матричная форма записи
- •33)Матричный способ решения систем линейных уравнений. Пример решения неоднородной слау
- •34) Формулы Крамера.
- •35) Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли
- •36)Условия определённости и неопределённости систем линейных уравнений
- •37)Решение систем линейных уравнений метод Гаусса
- •38)Теорема о совместимости однородной системы линейных уравнений
- •39)Теорема о существовании ненулевых решений однородных линейных уравнений.
- •40)Линейное векторное пространство. Пространство r и линейные операции в этом пространстве.
- •41) Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского
- •42)Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и не зависимости веторов в
- •2) Критерий линейной зависимости векторов
- •43) Базис линейного пространства. Примеры базисов в
- •44. Теорема о единственности разложении вектора линейного пространства по базису.
- •45.Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.
- •46.Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы и их свойства.
- •47.Характерестическое уравнение , соответствующие квадратной матрице . Теорема о связи собственных чисел матрицы с корнями этого уравнения.
- •48. Линейные операторы. Основные понятия.
- •49. Комплексные числа в алгебраической форме записи .Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи .Решение алгебраических уравнений
- •50.Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Эйлера.
- •51. Действия с комплексными числами. Формула Муавра
- •52)Линейная балансовая модель
- •53) Квадратные формы. Критерий Сильвестра
- •Определение
- •Связанные определения
- •Свойства
- •Критерий положительной определённости квадратичной формы
- •Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
12. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
Общее уравнение прямой.
Ах+Ву+С=0
А,В,С- произвольные числа, А и В не равны нулю одновременно. Два случая:
В=0, то уравнение имеет вид Ах+С=0, причем А не равно 0, т.е х= -С\А, это есть уравнение прямой , параллельной оси Оу, проходящей через точку (-С\А;0)
В не равно нулю, получаем у= -А\Вх-С\В. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом к=tga=-А\В
Частные случаи общего уравнения прямой:
А=0, уравнение приводится к виду у=-С\В. Это есть уравнение прямой , параллельной оси Ох;
В=0, то прямая параллельна оси Оу;
С=0, то получаемАх+Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О (0;0), прямая проходит через начало координат
13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов. Пучок прямых
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнения.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
У = кх+в, число к= tga-угловой коэффициент прямой, а уравнение- уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая проходит через начало координат , то b=0, и уравнение этой прямой будет иметь вид у= кх.
Если прямая параллельна оси Ох, то а=0,следовательно к=tga=0 и уравнение примет вид у= b.
Если уравнение прямой параллельно оси Оу, то а=∏\2, следовательно уравнение теряет смысл, т.кtg ∏\2- не существует, уравнение прямой будет иметь вид х=а, где а-абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.
Пучок прямых.Через точку А1(х1;у1) проходит множество прямых, именуемое центральным пучком(или просто пучком). Точка а1- центр пучка. Каждую из прямых пучка можно представить уравнением:
у-у1= к(х-х1)
к- угловой коэффициент, параметр пучка, характеризует направление прямой, она меняется от одной прямой пучка к другой. Значение параметра К можно найти, если дано еще какое-либо условие, которое определит положение прямой
14. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости и в пространстве.
15.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Пусть две перпендикулярные прямые L1,L2 представляются уравнениями:
y=к1x+b1,
y=к2x+b2
Тогда
формула:
дает угол, на который надо повернуть
первую прямую, чтобы она стала параллельной
второй.
Условием параллельности двух прямых является равенство двух угловых коэффициентов: к1=к2
Условием перпендикулярности прямых является равенство к1*к2=-1
16. Общее уравнение плоскости и его исследование
17.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол
между двумя пересекающимися плоскостями
равен углу между прямыми, по которым
они пересекаются с любой плоскостью,
перпендикулярной их линии пересечения.
Доказывается, что этот угол не зависит от выбора такой плоскости. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.
Две
плоскости α1 и α2 параллельны тогда и
только тогда, когда их нормальные векторы
n1
иn2
параллельны, а значит
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
Ясно,
что две плоскости перпендикулярны тогда
и только тогда, когда их нормальные
векторы перпендикулярны, а следовательно,
или