44. Теорема о единственности разложении вектора линейного пространства по базису.

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Определение. Пусть а – произвольный вектор , - произвольная система векторов. Если выполняется равенство

(1)

то говорят, что вектор а представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора а по базису .

Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора а относительно базиса

45.Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение подпространств. Примеры подпространств.

Непустое множество U линейного пространства V называется подпространством , если для любых векторов и .

В любом пространстве содержится нулевое подпространство. (самое маленькое подпространство).

Пространство V самое большое . Если , то и . Если и , то .

Теорема. Пусть U1 и U2 подпространства пространства V, причем . Тогда и из равенства размерностей следует равенство подпространствU1=U2.

Линейная оболочка подмножества X линейного пространства L — пересечение всех подпространств L, содержащих X.

Линейная оболочка является подпространством L.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X.

Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов X.

Если X — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.

Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki:

Примеры

Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.

Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.

поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

Любое поле является одномерным пространством над собой.

46.Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы и их свойства.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором линейного преобразования А, соответствующим собственному числу , если

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования А линейного пространства называется спектром преобразования А.

Если L-- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае )

Ненулевая матрица- столбец а называется собственным вектором квадратной матрицы А , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство

Свойства :

1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора А, отвечающих одному и тому же собственному числу , является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы оператора А с попарно различными собственными числами – линейно независимы