Геометрический и физический смысл (первой) производной

Как явствует из материалов предыдущей темы, результатом дифференцирования исходной функции y(x) является новая функция y'(x), произведенная по определенным правилам из y(x) и несущая количественную информацию об "изменяемости" этой y(x) при соответствующих значениях аргумента x.

Физический   Изменения проявлений каких-либо свойств или состояний смысл      объектов реального мира мы обычно связываем с течением реального   ("физического")  времени,   При  этом,   мы легко выделяем направленность подобных изменений ("возрастание", "убывание") и  их  количественную  значимость,   отнесенную  к  единице измерения временного интервала наблюдения (т. е., "скорость" изменений).

Именно указанная особенность отражения в нашем сознании восприятия изменений окружающего мира позволяет рассматривать численное значение производной y'(x) как количественную меру мгновенной скорости изменения исходной функции y(x) в точке х. Если y'(x) > 0, то функция y(x) в точке х возрастает. Если y'(x) < 0, то функция y(x) в точке х убывает. Если y'(x) = 0, то функция y(x) в точке х неизменна (т.е., скорость изменения y(x) в точке х равна нулю).

Если аргументом исходной функции является физическое время t, а сама функция описывает перемещение реального тела в физическом пространстве S=S(t), то термин "мгновенная скорость V(t)" имеет буквальный смысл, принятый в современной Физике (Механике Ньютона):

s: = f = v(t)

В случае аргументов иной природы, выражение "скорость изменения функции" имеет условно-иносказательный смысл.

Следует иметь в виду, что в научной и учебно-справочной литературе по   Теоретической   Механике,   с   основами   которой студенты физкультурно-педагогических   ВУЗов    обычно   знакомятся при изучении Биомеханики, производная по времени обозначается не штрихом, а точкой над знаком дифференцируемой функции:

St = ж => S (t) = V(t).

Геометрический смысл

25

Графическое отображение функциональной зависимости y(x) на декартовой плоскости xOy позволяет "одним взглядом" оценить все особенности "поведения" y(x) сразу во всей ОДЗ. При этом, различным скоростям изменения функции по мере изменения аргумента x (см. выше) на графике будут соответствовать его участки, имеющие различную "крутизну" увеличения (или уменьшения) координаты y ("высоты над уровнем оси абсцисс") по мере увеличения координаты x.

Можно образно сказать, что изучение графика функции y(x) подобно пешему путешествию по доселе неизвестной пересеченной местности, изобилующей подъемами и спусками (крутыми и пологими), холмами и оврагами, горами, ущельями, плато, долинами и т. п., и т. д.

Производная y'(x) численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику исходной функции y(x) в точке х.

Если y'(x) > 0, то касательная к графику y(x) в точке х имеет положительный наклон относительно горизонтали.

Если y'(x) < 0, то касательная к графику y(x) в точке х имеет отрицательный наклон относительно горизонтали.

Если y'(x) = 0, то касательная к графику y(x) в точке х параллельна оси абсцисс (т.е., сама является горизонталью).

касательной

и нормали

Уравнения Геометрия изучает разнообразные линии ("кривые"), фигуры, "объемные" тела и т.п. объекты, ранее определенные как "геометрические места точек" (см. Вып.1). Внешний вид указанных объектов (с различных точек зрения) может изображаться на плоских чертежах. (Начертательная Геометрия). При анализе свойств таких изображений (а, следовательно, - и самих изучаемых объектов!) часто используют особые прямые вспомогательные линии - касательные и, перпендикулярные им, нормали (см. Рис. 2.1 справа).

В Аналитической геометрии упомянутые объекты описываются с помощью количественных (функциональных) соотношений между координатами образующих их точек. Разумеется, что при этом любые вспомогательные геометрические построения так же должны быть описаны на языке аналитических формул.

Если кривая линия L на декартовой плоскости xOy может быть определена с помощью функциональной зависимости между координатами принадлежащих ей точек L: y=f(x), то уравнение касательной к L в любой точке (x., y.= f(x.)) имеет вид ( если f(x) - дифференцируемая в точке X.):

Рис. 2.1.

Касательная и нормаль

к параболе y = x2 в точке (x., y.) = (1, 1)

26

У - У. = fx (x.) • (x - x.).

С учетом свойств ортогональных линий (см Гл.3, Вып.4), уравнение нормали в той же точке:

(x - x.)

y - y -^-fsxy.

Заметим, что построение вспомогательной "сетки", состоящей из нормалей и касательных позволяет упростить процесс "плавного" вычерчивания изучаемой кривой за счет сокращения числа опорных точек (x., y.), как это показано на заставке слева.

15. Геометрический и физический смысл второй производной.