6.4 Замкнутые смо

В замкнутых системах массового обслуживания поступление потока требований за­висит от самой системы. Элемент системы после выполнения своего требования не по­кидает систему, а возвращается назад и в любой момент может опять послать очередную заявку, то есть требования движутся по циклу, а источники заявок являются не внеш­ними, а внутренними. Замкнутые СМО типичны для таких производственных ситуаций, когда рассматриваются организационные формы обслуживания технологического обо­рудования. Источником требований обычно выступают машины (потоки, станки, вы­пуски), число которых ограничено и равно m. Обслуживание этих машин осуществля­ется r (r > 1) рабочими, причем каждый рабочий обслуживает одновременно только одну машину.

Показателями эффективности системы служат:

1. Средняя длина очереди (среднее число требований, ожидающих обслуживания)

(1)

где n - число машин, стоящих в очереди на обслуживание или уже обслуживаемых (число простаивающих машин), Р_n - вероятность нахождения n постаивающих станков, причем

, (2) и

.

Для практических расчетов удобно пользоваться формулами

Р_n = a_nP₀, n = 1, 2, …m (3)

где

.

2) Среднее число незагруженных каналов обслуживания

. (4)

3) Среднее число требований, находящихся в обслуживании

(5)

4) Среднее число требований в системе L_сист. = L_оч. + L_об.. (6)

5) Коэффициент простоя оборудования из-за ожидания обслуживания

. (7)

и процент простоя из-за совпадения операций П_с = k_с·100 . (8)

6) Коэффициент простоя рабочего, обслуживающего систему (9)

и соответственно коэффициент загруженности рабочего . (10)

7) Среднее время ожидания машиной обслуживания

. (11)

8) Среднее время совпадения операций Т_с = dТ_{оч. .} (12)

где d - число требований (остановок), приведенное к единице продукции.

Задача 6.4. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавли­вается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Опреде­лить абсолютную пропускную способность наладки рабочих станков.

Решение. Имеем: r = 1, m = 3, λ = 2, Т_обс. = 1/6, μ = 6.

Находим: ,

.

Находим вероятность того, что рабочий будет занят обслуживанием Р_з = 1-Р₀ = 0,654.

Если рабочий занят обслуживанием, то он обслуживает 6 станков в час, поэтому А = µ·Р₀ = 6·0,654 = 4, т.е. пропускная способность наладки рабочим станков равна 4 (станка в час).

Задача 6.5. Ткач обслуживает пять ткацких автоматических станков. Производитель­ность одного станка П = 3 м/ч, число самоостановок станка по данным наблюдений d = 2 на 1 м ткани; средняя продолжительность устранения причины остановки = 30 сек. Время обслуживания распределено по показательному закону. Требуется найти харак­теристики работы системы.

Решение. Имеем: r = 1, m = 5, требований в минуту; требования в минуту. Следовательно, коэффициент обслуживания (интенсивность загрузки канала) Вычислим вероятность Р_n станков, для чего воспользуемся формулами

a0 = 1,
а2 = (5 – 2 + 1) · 1,25 = 1,25	а3 = (5 – 3 + 1) · 0,25 · 1,25 = 0,938,
а4 = (5 – 4 + 1) · 0,25 · 0,938 = 0,469,	а5 = (5 – 5 + 1) · 0,25 · 0,469 = 0,117,

Находим Р₀ = (1 + 4,024)^-1 = 0,199; Р₁ = а₁Р₀ = 0,249; Р₂ = а₂Р₀ = 0,249;

Р₃ = а₃Р₀ = 0,187; Р₄ = а₄Р₀ = 0,093; Р₅ = а₅Р₀ = 0,023.

Проверим условие - оно выполняется.

Рассчитаем остальные характеристики системы:

L_оч. = (2 - 1) · 0,249 + (3 - 1) · 0,187 + (4 - 1) · 0,093 + (5 - 1) · 0,024 = 0,994

доля свободного времени ткача (среднее число незагруженных каналов)

r₀ = (1-0) · 0,199 + (1-1) · 0,0249 = 0,199

среднее число требований в обслуживании L_оч. = 1 – 0,0199 = 0,0801;

среднее число требований в системе L_сист. = 0,0994 = 0,801 = 1,795;

коэффициент простоя станков из-за ожидания обслуживания

k_c = 0,0994/5 = 0,199 19.9% = П

коэффициент простоя рабочего, обслуживающего систему

k_r = 0,199/1 = 0,0199;

коэффициент загруженности рабочего k_з = 1-0,199 = 0,801 или 80,1%;

среднее время ожидания обслуживания

среднее время совпадения операций Т_с = 2·0,62 = 1,24 мин. на I м ткани.

Анализ найденных характеристик показывает высокую загруженность системы при средней очереди 0,994 станки, величина простом станков из-за ожидания 19,9% и загру­женность рабочего 80,1 %.