5. Процессы гибели и размножения

В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случайных процессов – так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид показанный на рисунке 3.

Рис. 3.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы .Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния S_k возможны переходы либо в состояние S_k-1 , либо в состояние S _k+1.

Предположим ,что все потоки событий ,переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или

По графу, представленному на рис.3, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с ранее сформулированным правилом составления таких уравнений получим:

для состояния

(4)

для состояния -

с учетом (4) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

(5)

к которой добавляется нормировочное условие

. (6)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (5) выразим p

через p : . (7)

Из второго, с учетом (7), получим:

(8)

Из третьего, с учетом (8), получим:

И вообще, для любого k (от 1 до n), имеем:

Обратим внимание на формулы для вероятностей : числители представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо ( от начала и до данного состояния S_k ); знаменатели – произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево ( из состояния S_k и до начала ).

Таким образом ,все вероятности состояния выражены через одну из них (p₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие (6). Получим:

откуда можно получить выражение для p₀:

(9)

Заметим, что слагаемые в правой части (9) представляют собой не что иное, как последовательные коэффициенты при p₀ в формулах для вероятностей .

6. Простейшие системы массового обслуживания

и их характеристики.

6.1 . Показатели эффективности смо.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО с показателями эффективности, описывающими её способность справиться с потоком заявок.

Показатели эффективности делятся на показатели:

1. Характеризующие качество и условия работы обслуживающей системы;

2. Отражающие экономические особенности системы.

Показатели первой группы формируют на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы.

Показатели второй группы рассчитывают на основе показателей первой группы.

Среди показателей первой группы можно выделить следующее:

1. Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединиться к очереди и теряется;

2. Среднее количество требований, ожидающих начало обслуживания (L_оч);

3. Относительная (q) и абсолютная (А) пропускные способности системы:

q = 1- P_отк, A = λ ^. q;

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов;

5. Общее среднее количество требований, находящихся в системе (L_сист);

6. Среднее время ожидания требования начала обслуживания (T_оч);

7. Среднее время пребывания требования в системе (T_сист ).

Все показатели СМО на практике рассчитываются по формулам, полученным в предположении, что входящий поток требований простейший (пуассоновский), с интенсивностью λ, а интервал времени между двумя следующими одно за другим требованиями в простейшем потоке распределены по показательному закону с параметром λ.

Эти обстоятельства позволяют приписывать происходящему в СМО процессу основное свойство Марковских случайных процессов, а именно для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивнисть потока требований:

(10) и . (11)

Формулы (10) и (11) называются формулами Латтла.

Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют в соответствии с конкретным видом системы. Одним из общих экономоческих показателей является экономическая эффективность

E = P_обсл λ С Т-G_n ,

где P_обсл – вероятность обслуживания, C – средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования, Т – рассматриваемый интеграл времени, G_n – величина потерь в системе.