2.Потоки требований

Потоком требований (событий) называется последовательность однородных требований, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; прибытие поездов на станцию; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение регламентных работ в вычислительном центре и т.п.

Потоки требований имеют такие свойства, как стационарность, ординарность и отсутствие последствия.

Свойство стационарности означает, что с течением времени вероятностные характеристики не меняются. Поток можно назвать стационарным, если для любого числа k требований, поступивших за промежуток времени длиной Δ t , вероятность поступления требований зависит только от величины промежутка и не зависит от его расположения на оси времени.

Свойство ординарности означает практическую невозможность группового поступления требований. Поэтому поток требований можно назвать ординарным тогда, когда вероятность поступления двух или более требований за любой бесконечно малый промежуток времени Δ t есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ t .

Свойство отсутствия последствия означает независимость вероятностных характеристик потока от предыдущих событий. Иными словами, вероятность поступления k требований в промежуток зависит от времени поступления и длительности обслуживания требований до момента .

К основным характеристикам случайного потока относят ведущую функцию и интенсивность.

Ведущая функция случайного потока есть математическое ожидание числа требований в промежутке [0,t). Функция - неотрицательная, неубывающая и в практических задачах теории распределения информации непрерывна и принимает только конечные значения.

Интенсивностью потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока ; для нестационарного потока интенсивность в общем случае зависит от времени: = (t).

Потоки требований различают по многим видам, но мы рассмотрим наиболее встречающиеся, а именно простейшие потоки и их модификации, потоки Пальма и потоки Эрланга.

Простейшие потоки. Если поток требований обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком требований.

Вероятность поступления k требований за промежуток времени t в пуассоновском потоке определяется из выражения

.

Интервал времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение

(при t>0).

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение промежутка Т:

,

,

.

Полученное совпадение величин М и характерно для показательного распределения. Это свойство на практике используют как критерий для первоначальной проверки соответствия гипотезы о показательном распределении полученном по статистическим данным.

Пример. По шоссе мимо наблюдателя движется в одном направлении простейший поток машин. Известно, что вероятность отсутствия машин в течение 5 минут равна 0,5. Требуется найти вероятность того, что за 10 минут мимо наблюдателя пройдёт не более 2-х машин.

Решение. Примем за единицу времени 5 мин. В задаче требуется найти

.

Из условия следует , т.е. , следовательно, . Таким образом, в предыдущее равенство подставляем и получим .

Простейший поток с возможной не стационарностью. Простейшим потоком с возможной не стационарностью (нестационарным простейшим потоком) является поток, обладающий свойствами ординарности, отсутствием последствия и имеющий в каждый момент времени t конечное мгновенное значение параметра .

Мгновенная интенсивность нестационарного простейшего потока определяется как предел отношения среднего числа событий, которые произошли за элементарный интервал времени , к длине этого интервала, когда . Среднее число событий, наступающих в интервале времени , следующим непосредственно за моментом , равно . Если поток событий стационарный, то

Тогда вероятность наступления k требований для рассматриваемого вида потока будет

.

ПРИМЕР. Рассмотрим простейший поток с параметром, изменяющимся по закону . Параметр является периодическим, его период равен1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1,5].

Решение. Длина отрезка равна 4. Вычислим среднее число событий, наступающих в начале времени

, тогда .

Простейший поток с возможной неординарностью. Простейший поток с возможной неординарностью обладает свойствами стационарности и отсутствием последствия. Требования в таком потоке могут поступать не по одному, а сразу группами (пакетами).В этом случае все требования, приходящие одновременно, объединяются в пакеты, вероятность поступления двух и более числа пакетов за промежуток времени t есть величина, бесконечно малая по отношению к t. Каждый пакет, исходя из определения, содержит хотя бы одно требование.

Вероятность поступления k требований для потока с возможной неординарностью с учётом вероятности нахождения m требований в пакете вычисляется:

, при

Простейшие потоки с возможным последствием. Поток, имеющий конечное значение параметра и обладающий свойствами стационарности и ординарности является простейшим потоком с возможным последействием. Условная вероятность поступления некоторого числа требований на заданном промежутке времени t такого потока вычисляется в предположении о предыстории потока

(о поступлении требований до этого промежутка времени) и может отличаться от безусловной вероятности того же события.

Вероятность поступления требований k за данный промежуток времени t для потока с возможным последействием будет выглядеть следующим образом

где - функция Пальма-Хинчина.

Функция представляет собой вероятность поступления k требований за время t при условии, что в начальный момент этого промежутка t поступает хотя бы одно (а в силу ординарности потока ровно одно) требование (это начальное требование не входит в число k требований за время t).

Потоки Пальма. Ординарный поток событий называется потоком Пальма (или рекуррентным потоком, или потоком с ограниченным последействием), если интервалы времени между последовательными событиями представляют собой независимые, одинаково распределённые случайные величины.

В связи с одинаковостью распределений поток Пальма всегда стационарен. Если промежутки времени распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком. Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа будут независимыми случайными величинами и образуют поток Пальма. Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.

Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.

Теорема Пальма. Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.

Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т. е. образуют для этой системы входной поток.

Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивший отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.

Потоки Эрланга. Потоком Эрланга n-го порядка называется поток событий, получающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняется каждая n-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются. Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга n-го порядка представляет собой сумму n независимых случайных величин , имеющих показательное распределение с параметром : .

Закон распределения случайной величины T называется законом

n-го порядка и имеет плотность

(при t>0).

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T соответственно равны:

; ; .

Для потоков Эрланга n-го порядка вероятность поступления k требований за промежуток времени t равняется

, для k > 0.

При k=0 .

Суммирование и разъединение простейших потоков. При объединении нескольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток с параметром, равным сумме параметров исходных потоков. При разъединении поступающего простейшего потока с параметром на n направлений так, что каждое требование исходного потока с вероятностью поступает на i-е направление, поток i-го направления также будет простейшим с параметром . Эти свойства простейшего потока широко используются на практике, поскольку значительно упрощаются расчёты.

Показательный закон распределения времени обслуживания. Временем обслуживания называется время, затраченное каждым узлом обслуживания на одно требование.

Время обслуживания характеризует пропускную способность каждого узла обслуживания, не связано с оценкой качества обслуживания и является случайной величиной. Это объясняется не идентичностью узлов обслуживания и различием в спросе на обслуживание отдельных требований. Например, поступающие на ремонт вагоны имеют неисправности самого различного характера, попадают в различные ремонтные бригады, поэтому время на обслуживание для различных вагонов не будет одинаковым.

Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается показательным и описывается функцией .

Параметр характеризует среднюю скорость обслуживания требований.