Что могут аффинные преобразования?

Итак, мы выяснили, что сохраняют аффинные преобразования. Теперь посмотрим, на что они способны. Можно ли с помощью аффинного преобразования из трапеции сделать квадрат? Или из параллелограмма — квадрат? Из любого ли треугольника можно сделать правильный треугольник? Постараемся выяснить, какими деформирующими способностями обладают аффинные преобразования.

Определение 6.

Эллипс — это фигура на плоскости, которая в подходящих декартовых координатах задается уравнением

Определение 7.

Эллипс — это фигура, которую можно получить из круга, применяя аффинное преобразование.

Определение 8.

Парабола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение

Определение 9.

Гипербола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение

 или 

Методы решения задач с помощью аффинных преобразований

Задача 36[9]

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Из любого треугольника можно сделать равносторонний. Давайте сделаем. Заметим, что середины сторон перешли в середины сторон и медианы перешли в медианы. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке в силу симметрии. Значит, в исходном треугольнике они тоже пересекались в одной точке.

Попробуйте обобщить результат задачи 36 на случай не обязательно медиан и не обязательно треугольников.

Картографические проекции, отображения всей поверхности земного эллипсоида или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.   Масштаб. Картографические проекции строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель — глобус, изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М(в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классуразвёртывающихся поверхностей), любой Картографические проекции присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой Картографические проекции в любой её точке является частный масштаб m. Это — величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению ds на плоскости:   причем m зависит от положения точки на эллипсоиде и от направления выбранного отрезка. Ясно, что m_min £ m £ m_max, и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение m/М называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность   искажением длины. При анализе свойств Картографические проекции можно не принимать во внимание главный масштаб; численное значение его учитывается только при вычислениях координат точек Картографические проекции Поэтому часто, например в теории искажений, считают М = 1.   Общие сведения. Теория Картографические проекции — математическая картография — имеет своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций, в которых искажения имели бы или наименьшие (в каком-либо смысле) значения или заранее заданное распределение.   Исходя из нужд картографии, в теории Картографические проекции рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. Т. к. земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что Картографические проекции необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (М > 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы некоторого радиуса R, отклонениями которой от эллипсоида можно пренебречь или каким-либо способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОу сферы, отнесённой к географическим координатам j (широта) и l (долгота).   Уравнения любой Картографические проекции имеют вид x = f₁(j, l), y = f₂(j, l), (1)   где f₁ и f₂ — функции, удовлетворяющие некоторым общим условиям. Изображения меридианов l = const и параллелей j = const в данной Картографические проекции образуют картографическую сетку. Картографические проекции может быть определена также двумя уравнениями, в которых фигурируют не прямоугольные координаты х, у плоскости, а какие-либо иные. Некоторые Картографические проекции[например, перспективные проекции (в частности, ортографические, рис. 2) перспективно-цилиндрические (рис. 7) и др.] можно определить геометрическими построениями. Картографические проекции определяют также правилом построения соответствующей ей картографической сетки или такими её характеристическими свойствами, из которых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию.