Гомотетия

Есть еще важный класс аффинных преобразований — это сжатия и растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия или гомотетиями.

Определение 5.

Гомотетия относительно точки   с коэффициентом   точку   переводит в точку  , которая удалена от точки   в   раз сильнее чем точка   и лежит на прямой   c той же стороны от точки  , что и точка  , если  . Если  , то   и   лежат по разные стороны от точки  . Другими словами,

Задача 3[8]

Что такое гомотетия с коэффициентом

a)  ; б)  ?

Решение

а) Тождественное преобразование (преобразование, которое ничего не преобразует, а все оставляет на своих местах);

б) поворот на   вокруг центра гомотетии.

Конец решения

Как вы узнали из задачи 2(ссылка), растяжение (сжатие) относительно прямой можно реализовать как проекцию фигуры с помощью параллельного пучка лучей с одной плоскости на другую плоскость, не параллельную ей. А гомотетия получается при проекции с помощью центрального пучка лучей с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость (рис.5).

Задача 4[8]

Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом

а)  ; б)  ?

Решение

Гомотетия с коэффициентом а)  б)  и тем же центром.

Конец решения

Рисунок 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость с помощью центрального пучка лучей.

Обозначения 1

Обозначим как   растяжение относительно прямой   с коэффициентом   (если  , то это сжатие). И, в то же время,   будет обозначать гомотетию относительно точки  с коэффициентом  .

Мы уже выяснили, что

'Задача 5[8]

Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:

Подсказка Это можно сделать, решив следующую задачу. Кроме того, есть простой путь для тех, кто освоился с декартовой системой координат. Поместите начало системы координат в центр гомотетии и определите, что происходит при гомотетии с координатами точки. Как выглядит общее уравнение прямой? Почему прямые при гомотетии остаются прямыми?

задача 6[8]

Докажите, что гомотетию относительно точки   можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно перпендикулярных прямых   и  , пересекающихся в точке  :

. Точнее

(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа   и двух перпендикулярных прямых   и  , пересекающихся в точке  , верно равенство  ».)

Подсказка Смотрите рисунок 6.

Рисунок 6. Из двух растяжений вдоль перпендикулярных направлений получается гомотетия.

Задача 7[9]

Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются (уменьшаются)

Задача 8[9]

Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники — в правильные треугольники.

Решение

Следует из предыдущей задачи. Отношение расстояний не меняется, потому множество равноудаленных от   переходит в множество равноудаленных от   точек. Аналогичные рассуждения для двух вершин правильного треугольника, которые равноудалены от третьей.

Задача 9[10]

Докажите, что композиция двух гомотетий есть снова гомотетия, причем центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.

Задача 10[10]

Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом   и параллельного переноса есть снова гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.