Представление перестановок в циклической форме.

Во многих приложениях удобно представлять перестановки в циклической форме.

Пример. Разложение перестановки на циклы.

Пусть f=<5 7 3 1 6 4 2>= , тогда эту перестановку можно записать так

1

Представление f

в виде циклов

à5à6à4

2à7

3

Каждый цикл выписан на отдельной строчке. Внутри цикла следующим выписывается элемент перестановки, являющийся образом в f текущего, т. е. xàf(x). Образ последнего элемента совпадает с первым. В этом примере первым в каждом цикле выписан элемент с наименьшим номером внутри цикла, a циклы расположены в порядке возрастания первых элементов

Рассмотрим некоторые свойства разложений на циклы и введем дополнительные обозначения.

Пусть перестановка f содержит k циклов следующего вида:

, для i=1,...,k,

Каждому такому циклу соответствует перестановка f_i = [ ], называемая также циклом длины n_i, которая определяется следующим образом:

f_i( )= ,...,f_i( )= ; f_i(x)=x для xÏ { }.

Перестановку f можно представить в виде суперпозиции циклов

f = .

Например, f = <7 5 1 4 2 3 6>, тогда f = [1,7,6,3]×[2,5]×[4].

Замечание. 1. Элементы внутри одного цикла можно циклически переставлять местами.

Например: [1,7,6,3]=[7,6,3,1]=[6,3,1,7]=[3,1,7,6].

Теорема 1. Общее число циклов во всех n! перестановках

n-го порядка равно n!´H_n, где H_n= .

Доказательство. Пусть все n! перестановок записаны в циклической форме. Зафиксируем i, 1£i£n, и рассмотрим, сколько циклов длины i встречается во всех этих перестановках.

Заметим, что конкретный цикл [a₁,...,a_i] встречается в (n-i)! перестановках, так как это число способов, которыми можно переставить оставшиеся n-i элементов. Число различных возможных циклов [a₁,...,a_i] есть n´(n-1)´¼´(n-i)/i, так как элемент a₁ можно выбрать n способами, элемента a₂ - (n-1) способами и т. д.; а среди n´(n-1)´¼´(n-i+1) циклов из a₁,...,a_i фиксированных элементов появляется i раз, как [а₁,...,а_i], [a₂,...,a_i,a₁],...,[a_i,a₁,...,a_i-1]. Поэтому общее число циклов из i элементов во всех n! перестановках есть n´(n-1)´¼´(n-i+1)/i, взятое (n-i)! раз, т. е. n!/i.

Суммируя по всем i, получаем общее число циклов во всех n! перестановках =n!´H_n.

Определение. Будем говорить, что перестановка, представленная в виде разложения на циклы, находится в канонической форме, если:

а) обязательно записываются все циклы;

б) в каждом цикле первым записывается элемент с наименьшим значением;

в) циклы располагаются в порядке убывания значений первых элементов.

Например, f=[3 1 6 7]×[5 4] представляется как [4 5]×[2]×[1 6 7 3].

Скобочная структура в канонической форме может быть опущена, так как первым элементам циклов соответствуют левосторонние минимумы ( a_k, ikn, является левосторонним минимумом f, если a_k<a_i, 1i<k).

В приведенном примере перестановка f может быть записана как (4 5 2 1 6 7 3), где круглые скобки указывают, что перестановка представлена в канонической циклической форме.

Упражнение. Пусть f=<a₁ ... a_n>, g=(a₁ ... a_n),n1. Докажите, что fg.

Рассмотрим производящую функцию С_n(t)= , определяющую число перестановок n-го порядка, имеющих k циклов, т. е. С(n,k) определяет число перестановок n-го порядка, имеющих k циклов. Тогда

C(0,0)=1,

C(n,0)=0, при n>0,

C(n,k)=0, при к>n,

Для n>0, C(n,k)=С(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k) или C_n(t)=(t+n-1)C_n-1(t).

Докажем последнее утверждение.

Все ниже рассматриваемые перестановки представлены в канонической циклической форме. Заметим, что если максимальное число в такой перестановке расположено на первом месте, то оно образует отдельный цикл (так как оно является левосторонним минимумом и следующее за ним число также левосторонний минимум). Если же оно расположено на любом другом месте, то оно входит в какой-то цикл длины, большей единицы. Перестановка n-го порядка, содержащая k циклов, может быть получена либо добавлением n на первое место в перестановку (n-1)-го порядка, содержащую k-1 цикл, либо добавлением n в перестановку(n-1)-го порядка, содержащую k циклов, на любое место со второго до n-го.

Следствие. Учитывая, что C₁(t)=t, получаем

C_n(t)=t(t+1)…(t+n-1).