8. Задана выборка, построить наиболее мощный критерий (критерий Неймана-Пирсона) в задаче различения двух простых гипотез.

Алгоритм:

1) Определить плотности вероятностей для гипотез и

2) Составим область Г₁ , такую что :

2.1) Взять ln от правой и левой частей неравенства.

2.2) Привести неравенство к виду :

При принимается , иначе принимается .

3)Определить параметры распределения с.в. либо из условия задачи, либо через плотность распределения:

4)

5) Исходя из системы

находим n и определяем значение порога

Пример

Пусть – выборка из распределения Лапласа

Построить критерий Неймона-Пирсона для заданных .

Решение

При принимается , иначе .

Тогда .

9. Задана выборка, построить «приближенный» критерий отношения вероятностей в задаче различения двух простых гипотез.

Алгоритм:

1. Записать отношение правдоподобия в виде , где

– плотности вероятностей.

2. Составляем неравенство:

3. Приведем к виду:

4. Записываем формулу среднего числа наблюдений для

Вычисляем при

Вычисляем

Находим значение , подставив в него .

Подставляем в формулу для .

5. Записываем формулу среднего числа наблюдений для

Аналогично находим в формулу для .

Пример:

А и В поменяны местами, т.к. – убывает.

(1)

При : , подставим в (1).

(2)

При : ,

подставим в (2).

10. Построить метод Монте-Карло для вычисления функции распределения и оценить необходимое число испытаний.

Теория:

идея метода Монте-Карло:

1. подбирается случайная величина такая, что и известен метод получения величины ;

2. производится -кратное получение величины , результатом которого является вектор величин , в котором все величины имеют такое же распределение как и величина ;

3. вычисляется величина , которая используется в качестве приближенного значения .

Обычно в задачах предполагают, что умеют получать независимые реализации случайной величины (например , равномерно распределенной на отрезке.

Метод получения случайных величин с распределением .

, где

Метод получения случайных величин с распределением .

Пусть , тогда ,

Для : ,

Метод получения случайной величины с заданной функцией распределения.

Пусть , требуется получить случайную величину непрерывного типа с функцией распределения , имеющей обратную функцию , образуем случайную величину : .

Функция распределения есть функция . , .

Например, для показательного распределения: получить случайную величину

. Ее функция распределения

x= , а обратная функция к :

Тогда =

Определения числа испытаний n для достижения точности :

Пусть в задаче приближенного вычисления неизвестной величины по методу Монте-Карло со случайной величиной ( и вектором независимых случайных величин ставится дополнительное условие о том, что вычисленное значение должно отличаться от на малую величину с вероятностью не меньше заданной (близкой к 1). Каким образом следует выбирать число суммируемых величин для удовлетворения дополнительного условия?

Формально дополнительное условие имеет вид:

.

Для оценки количества требуется вычислить вероятность в левой части неравенства, и для вычисления в некоторых случаях допустимо использовать независимость величин и асимптотическую нормальность суммы:

при ,

Получаем,

Задача (на семинаре): Определить функцию распределения случайной величины

, где - независимы,

Построить вычислительный процесс и определить число n, достаточное для достижения точности с

Решение:

-> строим выборку

Будем считать, что имеется способ построения реализаций независимых случайных величин R[0,1]

Образуем

Функция распределения : . Необходимо найти обратную функцию :

=> =>

Необходимо k штук случайных величин для нахождения , (k+1)-я - для , (к+2)-я для

Теперь найдем число n, достаточное для достижения точности с

Из условия:

(неравенство Чебышева)

отсюда

Очевидно, что и

=> (1- => n

n для Pд=0,95,