4.Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі (внесення функції під знак диференціала). Метод підстановки (заміни змінної)

Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність: 

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл 

Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

Отже, 

5.Многочлени та операції над ними

В математиці, многочленом чи поліномом або багаточленом однієї змінної називається вираз вигляду

де   є сталими коефіцієнтами (константами), а   — змінна.

Наприклад,   та   є многочленами, але   та   не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих ступенів змінних та константи:

• Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

• Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

• Многочлени можна ділити з остачею: якщо   - ненульовий многочлен, то будь-який многочлен   можна представити у вигляді

де   і   - многочлени, причому  .

6. Інтегрування раціональних дробів Інтегрування раціональних дробів.

Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де а_і та b_k — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;

k = 0, 1, 2, ..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo .

Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I. II.

III.

IV.

Умова означає, що квадратний тричлен х² + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x² + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

І.

ІІ.

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат­ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ.

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

8. . Інтегрування тригонометричних функцій.

а) Інтеграли вигляду  .

Якщо принаймні одне з чисел m або n непарне додатне ціле число, то відщеплюючи від непарного степеня один множник і виражаючи за допомогою формули   парний степінь, який залишився, через другу функцію приходимо до табличного інтеграла.

б) Інтеграли вигляду  ,  , .

Для обчислення інтегралів даного вигляду застосовують тригонометричні формули:

в) Інтеграли вигляду

 , де R - раціональна функція двох змінних, зводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргумента t підстановкою  . При цьому використовуються формули

3.Інтегрування деяких ірраціональних функцій

а) Інтеграли вигляду 

де R - раціональна функція своїх аргументів x, у,...,v;  - цілі числа, обчислюються за допомогою підстановки

, де s спільний знаменник дробів 

б) Знаходження інтегралів типу  , де R раціональна функція двох змінних, проводиться за допомогою тригонометричних підстановок таким чином. За допомогою виділення повного квадрата в квадратному тричлені і наступної заміни   вихідний інтеграл зводиться до інтеграла одного з таких трьох типів:

1) 

2)

3) .

Останні інтеграли за допомогою підстановки відповідно: 1) ,2) 3) зводяться до інтеграла вигляду