11) Применение закона Гаусса для расчета напряженности и потенциала электростатических полей между двумя параллельными бесконечными плоскостями.

 (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +  и –. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E₊ + E_–(E₊ и E_– определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность                                                                      (82.2)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

12) Применение закона Гаусса для расчета напряженности и потенциала электростатического поля равномерно заряженной нити.  Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью  ( =   –  заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю  (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2rlЕ. По теореме Гаусса (81.2), при r>R 2rlЕ = l/₀, откуда                                           (82.5)

Если r<R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определя­ется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.

13) Диэлектрики. Механизмы поляризации. Вектор поляризации. диэлектриками называются вещества, не способные проводить электрический ток. Эти вещества проводят ток в 10¹⁵ – 10²⁰ раз хуже, чем вещества, называемые проводниками. У диэлектриков заряды, входящие в состав молекулы, прочно связаны друг с другом и могут быть разъединены только при воздействии на них сильного поля. Поэтому заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Внутри или на поверхности диэлектрика могут находиться заряды, которые не входят в состав его молекул. Такие заряды называются сторонними. 1.Под действием внешнего электрического поля молекулы различных типов ведут себя по-разному. На полярные молекулы поле в основном оказывает ориентирующее действие, стремясь установить их дипольными моментами по полю. Ориентирующему действию поля на полярные молекулы противится тепловое движение, которое стремится разбросать моменты молекул равномерно по всем направлениям. В результате противоборства этих двух тенденций устанавливается преимущественная ориентация дипольных моментов по полю, тем большая, ем сильнее поле и чем ниже температура. Это приводит к тому, что вещество в целом приобретает в целом электрический дипольный момент или, как говоря, поляризуется. Такой вид поляризации называется ориентационной поляризацией. 2.Действие поля на неполярную молекулу приводит к тому, что центр положительных зарядов смещается в направлении поля, а центр отрицательных зарядов – в противоположную сторону. В результате неполярная молекула приобретает индуцированный дипольный момент, точно ориентированный по полю. Такая поляризация называется электронной. 3.В ионных кристаллах молекулы утрачивают свою обособленность. Весь кристалл представляет собой как бы одну гигантскую молекулу. Решетку ионного кристалла можно рассматривать как две вставленные друг в друга решетки, одна из которых образована положительными, а другая отрицательными ионами. Под действием внешнего поля обе решетки сдвигаются в противоположные стороны, что привод к поляризации диэлектрика. Такая поляризация называется ионной. Независимо от типа молекул диэлектрики под действием внешнего поля приобретают дипольный момент. Это явление называется поляризацией. Вектор поляризации — векторная физическая величина, равная дипольному моменту единицы объёма вещества, возникающему при его поляризации, количественная характеристика диэлектрической поляризации.

Обозначается буквой  , в СИ измеряется в В/м.

15) Учет связанных зарядов. Дифференциальная форма закона Гаусса.

Отметим, что интегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема Vна малые объемы Vi , получим выражение: , справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

     (1.7) и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V. В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D):

Дивергенция вектора D в декартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:

 .Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим

. Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством или для вектора напряженности электростатического поля

. Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме. Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

.

Выражение называется формулой Гаусса - Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.