6.Относительный покой жидкости. Равномерное вращение сосуда

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах(например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G=mg и центробежная сила , где r – расстояние частицы от оси вращения, а - угловая скорость вращения сосуда. Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения.

И з чертежа находим С другой стороны , где z – координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем откуда или после интегрирования . В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = C, поэтому окончательно будем иметь (2.11), т.е кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же формулу имеют и другие поверхности уровня. Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический площадки dS (точка М) на проивольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (2.11) будем иметь: , ( ) – высота цилиндра. После сокращения получим . Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

7.Закон Паскаля, его применение в технике. Закон Архимеда

И з основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности . Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинокого. Это положение известно под названием – закон Паскаля: . Закон Архимеда – тело, погруженное(полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела. Для одного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение , V – объем плавающего тела, - плотность тела.

8.Поверхность равного давления, её свойства. Уравнение поверхности уровня

Поверхность равного давления - поверхность, во всех точках которой значения гидростатического давления равны между собой, называют поверхностью равного давления или поверхностью уровня. На положение уровня свободной поверхности влияют силы тяжести и инерции.

Найдем величину равного давления Р по трем частным производным. При Р=const и P # 0 значение полного дифференциала dP=0 и, следовательно, уравнение поверхности жидкости равного давления имеет вид:

9.Сила давления жидкости на плоскую стенку

Р ассмотрим произвольную площадку ds, расположенную на плоской наклонной стенке сосуда с жидкостью на расстоянии Y от оси X, и определим силы, действующие на эту площадку. Сила от давления, действующего на элементарную площадку dS, будет описываться формулой: .Если проинтегрировать это выражение по площади, можно определить полную силу, действующую на всю площадь целиком . Из рисунка ясно, что в последнем выражении. Подставив значение h в предыдущее выражение, будем иметь: . Из теоретической механики известно, что интеграл есть ни что иное, как статический момент площади S относительно оси 0X. Он равен произведению этой площади на координату её центра тяжести, т.е. можно записать где Yс – расстояние от оси X до центра тяжести площади S. Подставив фор- мулу момента в выражение силы, получим: . Анализ второго слагаемого показывает, что произведение - это глубина положения центра тяжести площадки, а - избыточное давление жидкости в центре тяжести площадки. С учётом этого можно записать . Сумма в скобках в последнем выражении является абсолютным давлением в центре тяжести рассматриваемой произвольной площадки. Таким образом, можно сделать вывод: полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению её площади на величину гидростатического давления в центре тяжести этой стенки. Однако необходимо учесть, что эта сила не сконцентрирована в точке, а распределена по площади. И распределение это неравномерно. По этой причине для расчётов, кроме величины силы действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей. Центр давления. Распределённую нагрузку, действующую на наклонную стенку, заменим сконцентрированной. Для этого найдём на наклонной стенке положение точки D, в которой приложена равнодействующая силы давления. Точку, в которой приложена эта сила, называют центром давления. Как уже неоднократно рассматривалось, давление, действующее в любой точке, в соответствии с основным уравнением гидростатики складывается из двух частей: внешнего давления P0, передающегося всем точкам жидкости одинаково, и давления столба жидкости P, определяемого глубиной погружения этой точки.

Давление P0 передаётся всем точкам площадки одинаково. Следовательно, равнодействующая Fвн этого давления будет приложена в центре тяжести площадки S. При этом надо учитывать, что в большинстве случаев это давление действует и со стороны жид- кости и с наружной стороны стенки.

Давление P увеличивается с увеличением глубины. При этом величина равнодействующей этой силы Fизб известна и равна а точку её приложения необходимо определить.

Для нахождения центра избыточного давления жидкости применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы относительно оси 0X равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

где YD - координата точки приложения силы Fизб,

Y – текущая глубина.

Учтём, что, если hc выразить как координату точки C по оси Y, то Fизб примет вид: