Свойства пределов числовых последовательностей

1. Предел постоянной равен самой постоянной - .

2. Последовательность не может иметь двух различных пределов, если предел существует, то он единственный.

Доказательство от противного. Допустим, что имеет два различных предела и . Покроем точки и соответственно интервалами и настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались.

Т ак как , то в интервале находятся все элементы , за исключением конечного их числа. Но тогда интервал не может содержать в себе бесконечное число элементов и не может стремиться к . Мы пришли к противоречию, теорема доказана.

3. Если последовательность сходится (имеет предел), то она ограничена.

Доказательство. Пусть . Зададим и подберем натуральное число так, чтобы

Но тогда и выполняется неравенство

для всех . Пусть наибольшее из чисел

Тогда, очевидно,

Теорема доказана.

4. Предел функции.

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , т.е. на некотором интервале , где , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех , для которых , имеет место неравенство

.

Тот факт, что есть предел в точке , записывают следующим образом

Другое определение предела функции.

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и если предел последовательности существует и равен , какова бы ни была последовательность , сходящаяся к и такая, что для всех . Таким образом

Выражение предел функции в точке часто заменяют выражением предел функции при , стремящемся к , или, короче, предел функции при .

По аналогии вводят следующее определение.

Число есть предел функции при , стремящемся к бесконечности, если определена для всех , удовлетворяющих неравенству при некотором , и для любого можно найти число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству .

Многие свойства пределов при , где - конечное число, и при являются аналогичными. Для этого под буквой либо число (конечное), либо символ . Если есть число, то под окрестностью точки понимается любой интервал , содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки есть множество всех точек , удовлетворяющих неравенствам . Если же (или или ), то под окрестностью условимся понимать множество всех , удовлетворяющих неравенству

Произвольную окрестность точки обозначают символом .

Свойства пределов функции.

1. Если

и на некоторой окрестности , , , то .

2. Если

и на некоторой окрестности , , , то .

3. Пусть , где и - конечные числа. Тогда