1.Определение числовой функции. Способы задания функций.

Пусть имеются два множества Х и Y. Пусть указано правило, по которому каждому элементу х принадлеж. Х сопоставляется некоторый(единств.) элемент у принадлеж. У. Тогда говорят, что задана функция из Х в У. Числовая функция характерез. тем, что оба множества Х и У состоят из чисел х- аргумент, у- функция. 3 способа задания: 1)Табличный (область определения из конечного множества чисел; перечислив возможные аргументы и значения для них) 2) Аналитический –задание с помощью формулы. 3) Графический.4) словесный.

2. Понятие обратной функции.

Функция g: Y в X является обратной к f: X в Y, если g(f(x))=x, любое x принадлежит X. существует отображение У в Х, такое, что каждому соотв. единственное значение х, то существует обратная функция х= (y)

3. Понятие сложной функции. Если f:A в B, g:B в C, то g(f): A в C называется их композицией. Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).t

4. Числовые последовательности. Называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Последовательность обозначается: , n=1, 2,… или .

5. Определение предела последовательности.

число a называется пределом последовательности {Хn}, если для любого положительного эпсилон существует номер n0, (зависящий от e) начиная с которого все члены последовательности отличаются от a по модулю меньше, чем на e.

6. Свойства пределов числовых последовательностей.

1)Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2) Сходящаяся последовательность ограничена. Мн-во чисел X назыв. ограниченным, если сущ. такой отрезок [a,b] числовой оси, который содержит все числа из Х.

3)Если члены сход последовательности {Xn} удовлетворяют неравенству Xn>=b, то и lim Xn >= b

4) Если члены двух сходящихся последовальностей Xn и Yn связаны неравенствами Xn>=Yn (n=1,2,…), то и lim Xn>=lim Yn.

5)Если члены трех послед-й Xn,Yn,Zn связаны Xn>=Yn>=Zn и Xn,Zn имеют одинаковый предел a, то Yn тоже имеет предел a.

7. Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.

1) lim(Xn + Yn)= a+b 2) lim (Xn*Yn)=a*b 3)lim 1/Yn = 1/b, если Yn и b не равны 0 4) lim Xn/Yn= a/b,если (то же)

8. Определение ограниченной последовательности.

Последовательность Xn наз-ся ограниченной, если множ-во чисел X={Xn} ограниченно существующим M>0, где для любого n принадл-го N модуль Xn<M. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена, (но может и не иметь предела).

9. Определение бесконечно малой последовательности.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

10. Свойства бесконечно малых последовательностей.

1) Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью, то же про разность 3) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 4)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. 5) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 6) Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

7) Если Xn не равно 0 – беск. большая, то 1/Xn – беск. малая, и наоборот (8).

11. определение беск. большой последовательности.

Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного M существует номер n0, начиная с которого все члены посл-ти по модулю становятся больше M (то есть выходят за пределы любого отрезка [-M,M]).

12. свойства б.б.последовательностей.

1)б.б.последовательность является неограниченной.

2)Сумма б.б. и ограниченной послед-тей есть бесконечно большая послед-ть.

3)Сумма двух б.б. послед-тей одного знака есть б.б. того знака.

4)произведение б.б. послед-ти и ограниченной от нуля есть б.б. последовательность.

13.Определение монотонных последовательностей.

Последовательнсть {Хn} назыв.: возрастающей, если Хn<X(n+1) для всех n; невозрастающей, если Хn≤X(n+1) для всех n; убывающей, Хn>X(n+1) для всех n; неубывающей, Хn≥X(n+1) для всех n

14. определение предела функции в точке.

Число а называется пределом функции f (x) в точке X₀ (или пределом при X→ X₀) если для любой сходящейся к точке X₀ послед-и значений аргумента, отличных от X0, соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу а, т. е.

lim Xn = X₀ (Xn ≠ X₀) => lim f(Xn) = a; lim f(x) = a.

15.Свойства пределов функций.

1) Функция f(x) в точке x0 может меть только один предел.

2)Если ф-ция f(x) имеет предел в точке X₀, то в некоторой окрестности этой точки ф-ция ограничена,т.е. сущ-ет такая (проколотая) окрестность точки X0 и такое число А>0,что│f(x)│≤А для всех x из этой окрестности

3) Если для всех точек x некоторой (проколотой) окрестности точки Х₀ выполняется неравенство f(x)≥b, то и ≥b, если только указанный предел существует.

4)Если в некоторой (пр-й) окрестности точки Х₀ имеем f(x)≥g(x), то и limf(x)≥limg(x) (x стрем-ся к x0), если только указанные пределы сущ-ют.

5)Пусть в некоторой (пр-й) окрестности точки Х₀ выполняются неравенства f(x)≥g(x)≥h(x),причём пределы f(x) и h(x) при Х→Х₀ сущ-ют и равны между собой .Тогда предел g(x) при Х→Х₀ также сущ-ет и равен тем пределам.

16Правила вычисления пределов функций.

Пусть существуют

,

а)

б)

в) (при условии, что и ф(x) не = 0 в окрестности точки x0)).

г) (при тех же усл-ях).

д )

17.определение бесконечно малой функции.

Функция называется бесконечно малой при , если

.

18.определение бесконечно большой функции.

Функцию называют бесконечно большой при Х , стремящемся к Х₀, если lim 1/f(x)=0. для любой последовательности

( ) значений аргумента, стремящейся к Х₀, соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой. Записывают: .

19. Первый замечательный предел.

lim (sinx/x)=1 при x→0

20. Второй замечательный предел

lim(1+x)^(1/x)=e при x→0, где e=2,71828 – осн-е нат. логарифма

21. Дайте определения односторонних пределов функции в точке

Число А называется правым пределом функции f(x) при х → а, если для любого ξ > 0 существует такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а < х < а + δ, выполняется неравенство | f(x) - А |< ξ.

Число А называется левым пределом функции f(x) при х → а, если для любого ξ > 0 существует такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а - δ < х < а, выполняется неравенство | f(x) - А |< ξ.