Бмф и их свойства.

Определение.

Функция называется БМ при , если , т.е.

Пример:

- БМФ при

- БМФ при (в т. х=1).

Из определения предела функции при произвольном стремлении по Коши сразу вытекает, что функция имеет конечный предел А при тогда и только тогда, когда функция ( - А) является в этой точке БМ. Обозначая ее через (т.е. приходим к следующему представлению функции в некоторой окрестности точки *.

при

Свойства бмф.

I. Алгебраическая сума двух БМФ при некотором стремлении есть БМФ при том же стремлении.

П усть , - БМФ при . Это значит, что

п оложим , тогда очевидно, что и следовательно т.е.

Ясно, что по индукции теорема легко распространяется на любое конечное число слагаемых.

II. Произведение ограниченной функции в некоторой окрестности точки * на БМФ при есть БМФ при .

Пусть - ограниченная функция в некоторой окрестности , т.е.: Пусть далее - БМФ при , т.е.

С ледствия

1. Если = С=const, то: - БМФ при где - БМФ при .

2. Т.к. функция, имеющая конечный предел при некотором стремлении ограничена в некоторой окрестности этого стремления, то произведение такой функции на БМФ при том же стремлении есть БМФ при том же стремлении. В частности, если эта функция сама является БМ то заключаем, что произведение двух БМ есть БМ.

Этот последний результат легко обобщается по индукции на любое конечное число сомножителей.

Теорема. (об арифметических операциях с функциями, имеющие пределы).

П усть функции и имеют в точке * пределы А и В соответственно, тогда функции так же имеют в т. * пределы соответственно равные: (в случае частного считаем, что ).

Пользуясь условиями теоремы и представлением функции, имеющей предел в точке * в виде суммы некоторого предела и БМФ, имеем , где и - БМФ при

где ,

Следствия

1. Теорема по индукции распространяется на любое конечное число слагаемых или сомножителей.

2. где С=const

3. 

Ббф. Их связь с бмф.

Определение

Функция называется ББ при данном стремлении, если для:

пишут:

Если , то пишут , если же , то пишут .

Между ББФ и БМФ в точке * имеется тесная связь, которая выражается теоремой.

Теорема:

Е сли функция - БМФ в точке * и в некоторой окрестности точки * , то функция ББФ в точке *.

Выберем произвольно , тогда (найдется)

Аналогично доказывается, что справедлива и обратная теорема:

Теорема

Если - ББФ при , то функция - БМФ при

Две важные теоремы

Теорема 1. (о замене переменных в пределе)

Пусть:

1. функция переменной х преобразуется с помощью подстановки в функцию переменной z получается

2. (конечный предел) причем вблизи точки

3. тогда

Доказательство по Гейне.

Рассмотрим произвольную последовательность .

П оложим , тогда по Гейне последовательность сходится к , причем следовательно снова по Гейне с учетом , имеем что последовательно сходится к А, т.е.

Примечание

В доказанной теореме функция представлена как сложная функция переменной х посредством промежуточной переменой поэтому доказанную теорему можно понимать как теорему о пределе сложной функции.

Теорема 2 (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции)

Д обавим к условиям теоремы 1 требования непрерывности функции в точке .

Учитывая это и применяя доказательство теоремы 1 имеем: