Непрерывность функции в точке.
Определение 2.
Функция
называется непрерывной
в точке
если:
(2).
Это определение предъявляет функции следующие требования:
функция должна быть определена в точке и некоторой ее окрестности.
Функция должна иметь в точке предел.
Этот предел должен совпадать со значением функции в точке .
Определение
2 означает, что для непрерывности в точке
функции знаки lim
и f
функции перестановочны, т.е.
.
Предел функции равен функции от предела
аргумента.
Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция разрывна в т. или имеет в т. разрыв; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности кроме быть может т. .
Тогда т. - называется точкой разрыва функции .
Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой .
Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги.
y
M
M0
M’
0 x x
На рисунке:
тогда
,
т.е.
Возвращаясь к функции , можем сказать, что в точке нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность в т. и не имеет предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. .
Возвращаясь к пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому функция разрывна.
Если
бы мы придали функции
в точке
значение 2, то измененная таким образом
функция оказалась бы непрерывной в т.
.
Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
(общие теоремы о пределах)
Теорема 1. (единственность предела).
Если
то
.
Допустим
противное, т.е.
.
Выберем
,
так, что бы окрестности т.
,
не пересекались, т.е.
т.к.
,
то
т.е.
аналогично
то
т.е.
.
Рассмотрим
Тогда,
и
и
,
что невозможно, т.к. указанные окрестности
не пересекаются.
Теорема 2 (локальная ограниченность функции, имеющий предел).
Если предел при равняется А, то найдется окрестность , во всех точках которых функция ограниченна.
Положим
Из
условия теоремы следует существование
окрестности:
.
Следовательно:
Отсюда
для указанных х
что и означает ограниченность
в
.
ЛЕКЦИЯ № |
Свойства функций
(продолжение)
Теорема 3.
Е
сли
(resp
A<B)
то
окрестность
в которой выполняется неравенство
>B
(resp
<B)
Пусть
A>B
положим
тогда
П
ри
выбранном
левая из этих неравенств имеет вид
>B
resp
доказывается 2 часть теоремы только в
этом случае берем
Следствие (сохранение функции знаки своего предела).
Полагая
в теореме 3 B=0,
получаем: если
(resp
),
то
,
во всех точках, которой будет
>0
(resp
<0),
т.е. функция
сохраняет знак своего предела.
Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).
Е
сли
в некоторой окрестности точки
(кроме быть может самой этой точки)
выполняется условие
и данные функции имеют в точке
пределы, то
.
На языке и .
В
ведем
функцию
.
Ясно, что
в окрестности т.
.
Тогда по теореме о сохранении функции
значении своего предела имеем
,
но
Следствие.
Из
теоремы вытекает, что если в некоторой
окрестности
(кроме возможно самой этой точки)
выполняется условие
(resp
),
то
(resp
,
в предположении что предел ).
(Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции)
Теорема 5. (о пределе промежуточной функции).
(
1)
Если
и в некоторой окрестности т.
(кроме быть может самой т.
)
выполняется условие (2)
,
то функция
имеет в т.
предел и этот предел равен А.
по
условию (1)
для
(здесь
- наименьшая окрестность точки
).
Н
о
тогда в силу условия (2) для
значения
так же будет находится в
- окрестности точки А,
т.е.
.