Последовательность.

Определение.

Постоянное число a называется пределом последовательности {a_n}, если:

при этом пишут или при .

Подчеркнем, что выбирается произвольно, а число N должно быть указано после выбора .

Комментарий к определению.

Вообще говоря, если уменьшит то неравенство (2) будет выполняться, начиная со все больших и больших номеров, т.е. чем больше близости значений к числу a мы требуем, тем более далекие значения в ряду (1) (см.пред. лекцию) приходится рассматривать.

Из определения последовательности немедленно втекает, что предел постоянной (последовательности) ( ) равен самой этой постоянной, т.к. неравенство (2) выполняется тривиальным образом для любого при всех натуральных N.

В силу свойств абсолютных величин неравенство (2) равносильно неравенствам: (2’), это значит, что точка -окрестности точки a, поэтому соотношение равносильно следующему утверждению: каков бы ни был интервал можно указать такое число , что все точки , номера которых указанному интервалу. Отсюда следует, что указанному интервалу бесконечно много точек , когда как вне этого интервала может быть конечное число точек с номером .

Теорема

П оследовательность может иметь только один предел.

Пусть и b – произвольное вещественное число не равное a.

Пусть для определенности .

В озьмем два непересекающихся интервала и с центрами соответственно a и b. Т.к. то интервалу все точки , начиная с некоторого номера , поэтому интервал может содержать …… число последовательности , а это значит, что число b не есть предел этой последовательности.

Отметим, что ограниченная последовательность может быть расходящейся (т.е. не иметь конечного предела), если же последовательность сходится (имеет конечный предел), то она непременно ограничена. Таким образом имеет место теорема.

Теорема

Е сли последовательность { } имеет предел, то она ограничена.

Пусть и какой-нибудь интервал с центром в точке a. Может оказаться, что все точки , тогда ограниченность последовательности { } установлена, если же вне интервала имеются точки , то их может быть лишь конечное число. Поэтому среди этих точек существует точка, наиболее удаленная от точки a, обозначим через M ее расстояние от точки a, тогда все точки , где ; , а значит она ограничена.

Отметим еще важную теорему.

Теорема

Если последовательность { } возрастает (или не убывает) и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Если последовательность { } убывает (или не возрастает) и ограничена снизу, то она имеет предел.

Таким образом всякая монотонная ограниченная последовательность сходится. (без док-ва).

В качестве примера использования этой теоремы, докажем, что последовательность , где , сходится при доказательстве используем формулу бинома Ньютона:

(3)

есть число всех сочетаний из n элементов по i (т.е. число всевозможных i – элементов подмножества данного n – элементного множества) и называется так же биноминальным коэффициентом.

Формула (3) доказывается по индукции.

Применяя формулу (3) получим:

последняя сумма содержит n положительных членов. Увеличив n на 1, увидим, что:

1. в сумме появится еще 1 ( член больше 0);

2. выражение в каждой скобке увеличиться.

Итак, , т.е. последовательность возрастает.

Заменяя теперь каждую скобку в последней сумме на 1, будем иметь: . Заметим, что верно: , поэтому для т.е. . Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху, значит она имеет предел, который следуя Эйлеру обозначают через ‘e’: (4).

Показательная функция при основании называют экспоненциальной и записывают: или exp x.

Вообще число e играет исключительно важную роль в математике. В математическом анализе используют главным образом логарифм по основанию e, называют натуральным и обозначают ln, так что .

Оно иррационально (e=2,7182818284590… и трансцендентно, т.е. не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами).