Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x₀ и

x₀ +x лежат на этом промежутке

Определение 1:

Производной функции в точке x₀ называют предел (если он существует и конечен):

Е сли в точке x₀ выполняется условие:

то говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ бесконечную производную.

В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной.

Определение 2:

Говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ правую ( resp. левую) производную, если существует предел:

Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)

x₀

x₀

x₀

x

ЛЕКЦИЯ №

……………………………………………………………………………………………

где - б.м. при .

Это равенство справедливо при всех достаточно малых, поэтому выберем такое , которое соответствует приращению аргумента функции . Поделим обе части предыдущего равенства на и перейдем к пределу при . доказываем существование левой части уравнения. Доказательством этого будет существование предела конечного справа. Заметим, что в силу диф. функции в точке она будет непрерывна в этой точке. Следовательно . Рассмотрим предел в правой части последнего равенства:

Таким образом предел справа и конечен, предел слева, который по определению производной равен производной функции в точке

О кончательно: .

Примечание.

Теорема доказана для сложной функции имеющей лишь один промежуточный аргумент. Однако последних может быть много, но правило диференц. Будет прежним.

Пример:

Пусть: y=f(u), u=u(v), v=v(t), тогда y(t)=f’(u)·u’(v)·v’(t).

Правила дифференцирования обратной функции. Теорема

Пусть функции y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о обратной функции и имеет в точке производную , тогда обратная функция так же имеет производную в соответствующей точке и справедлива формула (6).

Дадим аргументу y обр. ф-ции в точке приращение тогда в силу строгой монотонности обр. ф-ции ее приращение в точке будет отлично от 0 и поэтому можно записать . Перейдем в этом равенстве к пределу при (при этом в силу непрерывности функции y=f(x) в т. ).

Следовательно предел слева также и по определению производной есть производная .

О кончательно: .

Геометрическая иллюстрация.

имеем:

Производные основных элементарных функций.

1. , где (7) эта формула будет доказана позже.

2.

; (8)

(9)

формулы (8) и (9) доказываются с помощью определения производной, 1 замечательного предела и непрерывности функции cos(x) и sin(x) соответственно.

3.

y=tg(x); где

y=ctg(x)

Формулами (10) и (11) доказываются с использованием правила дифференцирования частного и формул (8) и (9).

4 . где (12)

; перейдем к lim при пусть при (2-ой замечательный предел). Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции или , если a=e .

.

5.

y=arcsin(x) (13)

y=arccos(x) (14)

т.к. на то корень арифметический по теореме о производной обратной функции (13). Формула (14) доказывается аналогично или с помощью

6.

y=arctg(x) (15)

y=arcctg(x) (16)

по теореме о производной обратной функции .

Формула (16) доказывается аналогично.

7. где

по теореме о производной обратной функции имеем таким образом ; (17).

В частности, если a=e, (18).

8.

y=sh(x) (19)

y=ch(x) (20)

Доказательство формулы (20).

Имеем .

Ф ормула (19) доказывается аналогично.

9.

(21)

(22)

При доказательстве используется производная частного, а потом формулы (19) и (20).