Лекции по математическому анализу.

(1 семестр)

Набор: Хомяков Б. (nys_b@rambler.ru), Малышева А., Бордачева Е. (студенты группы Э3-12, факультета Энергомашиностроение Московского Государственного Технического Института им. Н.Э.Баумана.)

ЛЕКЦИЯ №

Функции

Пусть X, Y – некоторые множества функцией или отображением f множества X в Y называется всякое правило (закон), которое каждому элементу ставит в соответствие определенный y принадлежащий Y.

При этом пишут читается функция f из X в Y или y=f(x), где , . Множество X называют областью определения или областью существования функции f. Множество - областью значения функции f. Произвольный элемент называется независимой переменной или аргументом функции f(x), соответствующее ему по правилу, f элемент называется зависимой переменной или значением функции f на элементе x, или образом элемента x. Другие записи: y=y(x); y=g(x); y=A(x); y=Y(x); S=R² (площадь круга, как функция его радиуса) x=x(t) (положение точки на числовой оси функции времени).

Если множество Y – числовое множество, то функция называется числовой.

Если , то функция называется вещественной функцией вещественного аргумента. Функция называется постоянной (функцией на X) если все ее значения равны между собой.

Определение:

Функция называется ограниченной на множестве X, если . На плоскости функция изображается в виде графика – множество точек (x;y), прямоугольные декартовые координаты которые связаны соотношением y=f(x), называется уравнением графика.

Существуют 3 основных способа задания функции:

1. аналитический (с помощью 1 или нескольких формул)

2. табличных (с комбинацией табличных значений аргумента и соответствующих значений функции)

3. графический (с помощью графика функции)

4. словесный

Функция Дирихлеа:

Рассмотрим функции и функцию . Функция , определяемая соотношением z=g(f(x)) называют сложной функцией или композицией функции f и g (h=g f), тогда z=h(x).

Пример:

X=Y=Z=R. F(x)=sinx; g(x)=x², имеем отсюда видно, что (не коммутативна).

Сложную функцию иногда удобно записать в виде цепочки переменных ; переменная y называется промежуточной переменной сложной функции.

Будем говорить, что функция f(x) не убывающая (соответственно не возрастающая) на множестве X, если: соответственно для не возрастающих

Если для

resp - функция возрастающей (resp убывающей).

Две последние функции – строго-монотонные, предыдущие – монотонные.

Рассмотрим функцию причем каждый элемент из Y является образом хотя бы одного элемента из X (тогда говорят, что f есть функция (отображение) из X на Y и пишут: f(X)=Y) (1)

, (2)

т.е. разные элементы из X имеют разные образы в Y.

Из условия (1) и (2) следует, что каждый элемент является образом в точности одного элемента , именно того, для которого , тем самым на множестве Y определена функция: , которая называется обратной для функции f. Каждая из функций устанавливает взаимооднозначное соответствие между элементами из Y и X.

Очевидные соотношения:

Функции f - взаимообратные.

Пример: