Вопрос 15: Показательное распределение и вероятностный смысл его параметров.

Показательным (экспоненциальным)называют распределение вероятностей непрерывной СВ Т, которое описывается плотностью:

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром >0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

где λ — постоянная положительная величина.

В определенных случаях принимают λ=λ(t)=const.

Показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

Показательное распределение широко применяется на практике, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой являются функция надежности и функция ненадежности.

Случайная величина   имеет показательное распределение с параметром  , если её плотность имеет вид

.

Вопрос 16: Нормально распределенная случайная величина и вероятностный смысл ее параметров.

Случайная величина называется нормально распределенной с параметрами а и b, если ее функция плотности распределения:

Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание, равное нулю. Если две нормально распределенные случайные величины X и Y некоррелированы, то они независимы.

Для двух нормально распределенных случайных величин Х и X / справедливо следующее свойство: Если случайные величины Xi и Xt распределены по нормальному закону и некоррелированы, то они независимы.

нормально распределенная случайная величина является непрерывной и ее дифференциальная функция распределения имеет вид:

! ±1.

y = f{X) = - j=-e 2°2

где г/=/(Х) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки X.

Для оценки вероятности попадания случайной величины в определенный интервал используют интегральную функцию плотности вероятности Ф(Х):

0(X)=]f(t)dt.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, Ь) определится следующим образом:

Р

Р(а<Х<р)=Ф(р)-Ф(а)=]/(г)А,

а

где/(£) — дифференциальная функция нормального распределения.

Вопрос 17: Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток. Правило "Трех Сигм".

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины  , подчиненной нормальному закону с параметрами  , на участок от   до  . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

,         

где   - функция распределения величины  .

Для оценки вероятности попадания случайной величины в определенный интервал используют интегральную функцию плотности вероятности Ф(Х):

0(X)=]f(t)dt.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, Ь) определится следующим образом:

Р

Р(а<Х<р)=Ф(р)-Ф(а)=]/(г)А,

а

где/(£) — дифференциальная функция нормального распределения.

Изложенные выше показатели являются исходной базой, применяемой для количественной оценки риска с применением как статистических методов, так и других, использующих теорию вероятностей подходов.

Правило "Трех Сигм" : P(|кси(доллар)-a|>3сигма)=0,0026

Вероятность отклонений больше, чем 3сигма, меньше чем 0,3%.