Вопрос 6: Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Но (i=1, 2, ..., n), поэтому

Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами».

Формула Байеса: Предположим, что производится некоторый опыт, причем об условиях его проведения можно высказать n единственно возможных и несовместных гипотез , имеющих вероятности . Пусть в результате опыта может произойти или не произойти событие А, причем известно, что если опыт происходит при выполнении гипотезы , то  

Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей

  откуда

но по формуле полной вероятности

поэтому:

(12)

Формуле (12) называется формулой Байеса. 

Вопрос 7: Дискретная случайная величина. Таблица распределения. Индикатор события.

Случайная величина - величина, значение которой зависит от случая.

Дискретная случайная величина - случайная величина пси(как доллар) называется дискретной, если ее множество значений состоит изолированных точек.

Случайную величину можно задать с помощью таблицы распределения, содержащей две строки:

1)все возможные значения случайной функции.

2)вероятности, с которыми эти значения принимаются

Индикатор события – это случайная величина, принимающая значение, равное единице, если событие произошло и равное нулю – в противном случае.

Индикатор события - (простейший пример дискретной случайной величины) -случайная величина, принимающая 2 значения:

1-если успех(событие осуществилось)

0 – не успех( если событие не осуществилось)

Индикатором события   называется случайная величина   :

Другими словами,  , если происходит событие  , и  , если событие   не происходит. Таким образом,   является бернуллиевской случайной величиной.

Вопрос 8: Функция распределения случайной величины и плотность распределения непрерывной случайной величины.

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.

Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x2)≥ F(x1 ), если x2, > x1, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(xo-0)=limFΨ(x)=FΨ(xo) при х→ xo

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и кусочно дифференцирована, то есть существует производная этой функции, причем она существует всюду, за исключением конечного числа величин. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что

случайная величина X примет значение, меньшее x

F(x) = P(X < x). (8.1)

Функция F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x. Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) ϕ(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения

ϕ(x) = F' (x)

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Плотность вероятности ϕ(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин. Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или

дифференциальным законом распределения. Распределение   называется непрерывным, если такова его функция распределения  . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где   означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.