Вопрос 3: Аксиоматическое определение вероятностей. Геометрическая модель.

Вероятностью называют функцию Р, которая P:F--R. И обладает следующими свойствами:

-P(А) ≥0

-P(omega)=1

-если А и В несовместимы, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (теорема о сумме вероятностей)

Из последнего пункта следует, Р(А1+А2+А3+....+Аm)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аm)

А1,...,Аm - несовместные (не могут осущ-ся в одном опыт одновременно)

А*В= теорема сложения вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-вероятность события А (1-3)-аксиомы теории вероятности. Следствие:

1),:  ; ; 0- вероятность невозможного события =0

2)А,А: АА=;АА=; ; Р(А)=1-Р(А)-вероятность события не А

3)Р(А)≥0: 1-Р(А)≥0 0 -вероятность любого события лежит в промежутке (0;1) 4)АВ-событие А есть частный случай события В, или В- следствие случая А, если из осуществления события А следует осуществление события В. В=А+В*А=Р(А)+Р(В*А)≥0; А,В*А-несовместно, Р(В)≥Р(А)-вероятность В больше, чем вероятность частного случая А.

Вопрос 4: Классическое определение вероятностей.

Предположим, что событию A благоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению.

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

где M – число элементарных исходов, благоприятствующих А; N – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

В этом случае 0<m<n, значит 0<m/n<1, следовательно,

0<P(A)<1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0<P(A)<1

Вопрос 5: Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.

Условной вероятностью Р(А|В)называется вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило. Есть опыт , который повторяется n-раз. m_n(AB)-число осуществления события А и В. m_n(AB)=m_n(A|B). Кn(A|B) (частота)= m_n(A|B)\m(B)=(m_n(A|B)\n)\(m(B)\n)= Kn(AB)\Kn(B). Условие вероятности:

Р(А|В)=Р(АВ)\Р(В)(*)

Теория умножения: Вероятность совместного появления 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А|В)* Р(В). Доказывается умножение условием вероятности (*) на Р(В). Р(А|В)=Р(А)-т.е. вероятность события А при условии В, то все равно получится событие А. Событие А и В -независимо, если вероятность произведения этих событий = произведению вероятностей: Р(АВ)=Р(А)*Р(В), Р(АВ)= =Р(А|В)*Р(В)=Р(А)*Р(В) при Р(В)0 

Р(А|B)=P(A) равно как: P(B|A)=P(B). Соб А1...Аn называется независимым в совокупности, если вероятность произведения есть произведение вероятностей: Р(А1...Аn)=Р(А1)*...*Р(Аn)

События А называются независимо совокупными, если для любой совокупности этих событий выполняется равенство: Р(Аi1*...*Aik)=P(Ai1)*...*P(Aik)

Следствие: A1,...,An - независимы.