66.Точность положения контурных точек на плане (карте).

О шибка положения точки является двумерной и определяется формулой

где m_x и m_y – ошибки положения по осям координат.

Наиболее правильно погрешности положения точек характеризовать эллипсом погрешностей, потому что сдвиг точки относительно ее точного положения в различных направлениях может быть различным. При оценке точности плана в среднем, направление сдвига контурной точки принимают равновероятным, поэтому точность положения контурной точки характеризуют кругом погрешностей и для расчета точности значения m_x и m_y в формуле (1) принимают равными и независимыми одна от другой. В связи с этим

m _x = m_y = m_k

Точность планов различных видов съемок различна.

Это объясняется различием геодезических инструментов и технологических процессов, применяемых при съемках.

Но различие точности планов отдельных видов съемок при правильном их проведении невелико, и практически их можно считать одинаково точными, потому что ряд элементов, составляющих технологический процесс того или иного вида съемки, имеет погрешности, которые могут быть приравнены к графической точности (0,1 мм на плане). Для решения практических задач, связанных с оценкой точности отображения различных объектов топографии можно воспользоваться числовыми характеристиками средних квадратических ошибок положения точек m_t

69. Точность площадей контуров, изображенных на плане.

Ошибки положения точек контура вызывают ошибки его площади.

Чтобы определить погрешность площади контура в зависимости от погрешностей положения поворотных точек этого контура, следует, представить, что каждая точка определяется на плане независимо от других и положение ее характеризуется координатами x_i и y_i со средними квадратическими ошибками m_xi и m_yi.

З ависимость между площадью контура и координатами его поворотных точек можно представить формулой

Для получения зависимости между средними квадратическими ошибками площади и координат точек контура продифференцируем по всем переменным x_i и y_i, а затем перейдем от дифференциалов к средним квадратическим ошибкам. Приняв m_xi = m_yi

получим

Величины в фигурных скобках есть квадраты диагоналей, между точками n–2, 1–3, 2–4 и т.д.

Эти диагонали D_i могут быть выражены через расстояния S_i–1 и S_i между точками i–1 и i+1 и внутренние углы β_i при точках i так:

Т огда

По формулам (3) и (4) можно определить среднюю квадратическую ошибку площади фигуры любой формы.

Для правильного многоугольника

Для фигуры прямоугольной формы с четырьмя точками поворота и соотно-шением сторон 1:К будем иметь

Д ля фигуры, по форме близкой к квадрату, при n = 4 и К = 1

Поскольку определяемые площади земельных участков выражают в гектарах на местности, то среднюю квадратическую ошибку отображения площади на плане тоже принято выражать в гектарах. Тогда формула приобретет вид

где m_t(см) – средняя квадратическая ошибка положения точки на плане, см;

М – знаменатель численного масштаба карты (плана);

Р_(га) – площадь участка на местности, га.

77. Проектировать аналитическим способом, т.е. вычислять проектные отрезки по заданной площади и по результатам измерений углов и ли­ний на местности (или по их функциям координатам) можно до со­ставления проектного плана - по схематическому чертежу, на котором записаны углы и линии, пользуясь ведомостью координат. Рассмотрим типичные случаи. 1. Требуется запроектировать участок площадью Р линией, проходящей через D. Имеются координаты точек А, В, С и D и углы при них

Площадь многоугольника ABCD равна Ри но она меньше проекти­руемой площади Р. Задачу решают в следующей последовательности. 1. Определяют площадь фигуры Pi по координатам или углам и дли- нам линий и площадь Р₂, которую т необходимо «дорезать» (Рг=Р-Р\) 2. Вычисляют дирекционный угол и длину линии AD по координатам точек А и D:

3.Из соотношения

определяют проектную длину Ак:

Здесь - высота треугольника ADk с основанием Ак, которое откладывают от точки А в направлении на точку Т; к - проектная точ­ка; kD - проектная линия; kABCD = Р - запроектированная площадь.

II. Требуется запроектировать равные по площади участки Pi = Р₂= P-s в форме трапеций, с границами параллельными стороне АВ.

Известными величинами являются основание трапе­ции а. Проектирование участ­ков производится трапеция­ми последовательно начиная с первого участка. Для этого по известному основанию АВ=а и углам при основании а и р вычисляют второе ос­нование

а затем высоту h\=2P/(a+b), и, наконец, боковые стороны трапеции необходимые для перенесения проекта в натуру. Следующий участок проектируют по основанию b предыдущего участка и тем же углам а и /? в той же последовательности.

Получив для последнего участка значение Ъ сравнивают его с ре­зультатом измерения линии CD. Расхождение не должно выходить за пределы двойной погрешности измерения этой линии. Если эту линию не измеряли, а вычисляли по другим элементам трапеции - углам и сторонам, то это расхождение не должно быть более двух единиц по­следней значащей цифры. Точность проектирования участков по форме близким к квадрату можно предвычислить по формуле р

78. При проектировании графическим способом необходимые элемен­ты измеряются непосредственно на плане (карте) или вычисляются.

В зависимости от условий недостающую или избыточную площадь проектируют треугольником или трапецией.

Проектирование треугольни­ком осуществляется в том случае, когда проектная линия должна проходить через определенную точку, при этом по заданной пло­щади и известной высоте (или основанию) определяют основа­ние (или высоту) треугольника.

Пусть необходимо запроекти­ровать дополнительно площадь Р1 линией проходящей через F.

Высотой треугольника BFK является перпендикуляр А, опущенный из точки F на линию АВ. Его длина определяется графически, а осно­вание треугольника - по формуле(68)

Величину а используют для перенесения проекта в натуру для по­лучения на местности точки К. Для определения точности вычисления расстояния а по формуле (68) прологарифмируем ее, продифференцируем и перейдем к средним квадратическим ошибкам

Если Р1, - заданная площадь, то ее можно считать безошибочной,

т.е. тР1 = 0, тогда

Следовательно, с какой относительной ошибкой измерена высота, с такой же относительной ошибкой будет вычислено основание и наоборот. Проектирование трапецией производят, если проектная линия должна проходить параллельно заданному направлению.

В этом случае по заданной пло­щади и длине средней линии этой трапеции, определенной по плану, вычисляют высоту трапеции, а по­том - ее боковые стороны.

требуется запроек­тировать площадь Р линией MN па­раллельно стороне DC.

Для этого из точки F проводят линию FO, параллельную DC и вы­числяют площадь многоугольника OBCDF.

Пусть разность между проектной площадью Р и площадью много­угольника OBCDF равна Р_{, и представляет площадь трапеции, кото­рую необходимо допроектировать. Для этого предварительно опреде­ляют длину средней линии по плану, выбрав ее на глаз в соответст­вии с площадью Р_и и вычисляют предварительное значение высоты по формуле

Отложив 1/2h от FO и проведя через полученную точку линию, па­раллельную линии FO или DC, измеряют второе приближенное значе­ние средней линии трапеции 5₂. Разделив Я, на S₂, получают второе, более точное значение высоты трапеции Л₂, которое может считаться окончательным, если расхождение его с А, не превышает величины утроенной графической точности, деленной на отношение средней ли­нии к высоте, в противном случае получают новое (третье) значение средней линии и затем третье значение высоты. Получив окончатель­ное значение высоты, откладывают его на перпендикуляре линии FO и через полученную точку проводят линию MN параллельную ОС. Проектирование трапецией менее точно, чем треугольником, из-за неточного измерения средней линии, так как положение её неизвестно, если неизвестна высота. При проектировании трапецией, относитель­ная ошибка искомой высоты равна относительной ошибке измерения средней линии. Точность проектирования участков графическим спо­собом можно предвычислить по формуле

где т - средняя квадратическая ошибка измерения линии по плану.

79. Графический и аналитический способы проектирования удобны лишь в случае, когда линии и участки имеют небольшое число поворо­тов и проектирование не требует больших затрат времени на производ­ство вычислений. При большой изломанности контуров землепользо­вании применение механического способа делает процесс проектиро­вания более простым, но менее точным. Однако проектирование толь­ко планиметром не выполняют, потому что планиметр - прибор, кото­рый по заданной площади и одному линейному измерению не дает возможности определить другое линейное измерение. Поэтому возни­кает необходимость проектировать участки последовательными при­ближениями до тех пор, пока величина недостающей площади до за­данной или излишек проектной площади не будет превышать допусти­мой погрешности вычисления площади.

Во избежание большого числа приближений при проектировании механический способ комбинируют с графическим, т.е. планиметром определяют площадь участка, спроектированного предварительно, а недостающую или избыточную площадь проектируют графически тре­угольником или трапецией, в зависимости от условий проектирования.

В этом случае ошибка проектирования участка будет складываться из ошибки определения предварительно спроектированной площади планиметром и ошибки проектирования недостающей или избыточной площади графическим способом. Однако точность определения пло­щади планиметром меньше, чем графическим способом. Ошибка про­ектирования недостающих или избыточных площадей вносят малую долю в общую ошибку проектируемой площади, поэтому ошибки про­ектирования участков планиметром можно считать примерно равными ошибкам определения площадей планиметром.