Шпоры по ур.мат.физ / вопросы урматы

Список вопросов по курсу “уравнения математической физики”

факультет ВФК, 6 семестр

лектор Орловский Д. Г.

1. Гармонические функции. Основные краевые задачи для гармонических функций. Классические и гладкие решения. Формулы Грина. Необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана.

2. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Интегральное представление функции класса C². Интегральное представление гармонической функции.

3. Теоремы о среднем для гармонических функций.

4. Принцип максимума для гармонических функций. Принцип максимума модуля.

5. Принцип максимума модуля в неограниченной области для убывающих функций. Принцип максимума для неограниченной области на плоскости. Единственность решения внутренней и внешней задач Дирихле.

6. Формулировка принципа максимума Жиро. Единственность решения внутренней и внешней задач Неймана.

7. Функция Грина задачи Дирихле, ее физический смысл для трехмерной области и простейшие свойства. Функции Грина полупространства и шара.

8. Симметрия функции Грина.

9. Решение задачи Дирихле с помощью функции Грина (формула Пуассона).

10. Разрешимость задачи Дирихле в шаре для произвольной непрерывной граничной функции.

11. Теорема о стирании особенностей.

12. Преобразование Кельвина. Поведение гармонической функции на бесконечности. Необходимое условие разрешимости внешней задачи Неймана на плоскости.

13. Неравенство Гарнака и теорема Лиувилля.

14. Объемный потенциал и его асимптотика.

15. Объемный потенциал и его непрерывная дифференцируемость.

16. Интегрирование по частям для кратных интегралов. Уравнение Пуассона для объемного потенциала.

17. Потенциал простого слоя и его свойства.

18. Потенциал двойного слоя и его свойства. Интеграл Гаусса.

19. Интегральные уравнения теории потенциала. Теория Фредгольма.

20. Исследование первой пары интегральных уравнений теории потенциала. Разрешимость краевых задач D^– и N⁺.

21. Исследование второй пары интегральных уравнений теории потенциала. Потенциал Робена и его физический смысл. Разрешимость задач D⁺ и N^–.

22. Разрешимость внешней задачи Дирихле для произвольной непрерывной граничной функции. Особенности плоского случая.

23. Функция Бесселя. Область сходимости ряда. Функция Бесселя отрицательного целочисленного индекса. Функции Бесселя индексов 1/2 и -1/2.

24. Уравнение Бесселя. Цилиндрические функции. Общее решение уравнения Бесселя. Функции Ханкеля и Неймана (Вебера). Модифицированная функция Бесселя, функция Макдональда.

25. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Функции Бесселя полуцелого индекса.

26. Интегралы от функций Бесселя.

27. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в круге.

28. Многочлены Лежандра. Четность. Старший коэффициент. Уравнение Лежандра и его общее решение.

29. Ортогональность и норма многочленов Лежандра.

30. Частные значения многочленов Лежандра.

31. Сферические функции и их свойства.

32. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в шаре.

33. Применение сферических функций к решению задач математической физики.