22. Невырожденная и вырожденная злп. Отличия формулировок оптимальности дбр невырожденной и вырожденной злп.

ЗЛП будем называть невырожденной, если все ее ДБР не вырождены.

А теперь рассмотрим теорему обратную второй части последней теореме.

Теорема: Пусть ЗЛП является невырожденной, а – ДБР, являющееся ее решением. Тогда вектор .

Доказательство (от противного):

Пусть – (оптимальное) решение ЗЛП и при этом некоторое .

Начнём увеличивать от нуля и пусть эта переменная примет значение .

Рассмотрим вектор , соответствующий переменной . (Как обычно) возможны два следующих случая:

1. Все компоненты этого вектора неположительные.

Тогда вектор

при любом будет оставаться допустимым решением преобразованной задачи.

2. Пусть вектор имеет положительные компоненты. Как и ранее определим максимальное допустимое значение :

.

Так как по условию задачи решение не вырожденно, то есть , то

Тогда вектор будет оставаться допустимым решением преобразованной задачи при ,

Найдём значение ЦФ в точке :

Что противоречит тому, что решение исходной задачи. Значит, если – оптимальное ДБР ,то .

В том случае, если ЗЛП не является невырожденной предыдущая теорема приобретает вид:

Теорема: Для того, чтобы ДБР являлось решением исходной ЗЛП, необходимо и достаточно существование такого базиса для , для которого .

23. Схема симплекс - метода. Особые случаи применения симплекс-метода.

5.5 Особливі випадки, що виникають при застосуванні симплекс-методу

Нехай задана ЗЛП:

,

,

.

Нехай – ДБР системи обмежень.

Перетворена задача, що відповідає ДБР :

,

,

.

Особливими випадками використання симплекс–методу є:

 виродженість розв’язку;

 необмеженість цільової функції;

 наявність альтернативного оптимуму.

5.5.1 Виродженість розв’язку

Ознака виродженості: ( )

(одна чи декілька базисних змінних приймають нульове значення).

Ознака виродженості по симплекс-таблиці відповідного розв’язку:

Базисні змінні		…							Розв’язок
	1
…
		1							0
…
			1

Так в ЗЛП, що представлена на рисунку 3, виродженою є вершина .

Точці відповідають три базиси:

;

;

.

Рисунок 3

Симплекс–таблиця для першого з наведених базисів має таку структуру:

Базисні змінні							Розв’язок
					+	+	+
	1				+	–	+
		1			0	+	+
			1		–	–	0
				1	+	0	+