20. Способ перехода от одного базисного допустимого решения (бдр) к другому. Особые случаи, возникающие при переходе от одного дбр к другому.

Сначала рассмотрим конкретный пример.

Пусть имеем ЗЛП:

Приведем задачу к канонической форме

Нам необходимо найти какое-то ДБР. По определению ДБР:

• ß – совокупность линейно-независимых векторов;

• при ;

• затем ;

• если , то имеем ДБР с , иначе (имеем недопустимое БР) – все нужно выполнить заново.

Таким образом, нужно найти базис, которому бы ответствовало ДБР. Мы видим, что система диагональная относительно переменных , и при этом правые части уравнений неотрицательны. Если принять в качестве базисных векторы, соответствующие этим переменным, то получим, что .

Точка є ДБР (йому відповідає точка початку координат – точка A)..

A B

Запишемо систему обмежень відповідної перетвореної задачі:

Нехай небазисна змінна почне зростати, приймаючи додатні значення, в той час, як інша небазисна змінна залишиться нульовою. Це означає, що ми починаємо рухатись по ребру AB. При збільшенні

• збільшується;

• не змінюється;

• зменшується;

• зменшується;

при цьому змінна першою обернеться в нуль (те, що буде відбуватися з відповідною базисною змінною, залежить від значення відповідної компоненти вектора ). Максимально допустиме значення збільшення становить

подальше збільшення приведе до того, що змінна тане від’ємною. А це означає, що розв’язок – недопустимий.

Отже, якщо (ця змінна стане базисною), то

=0 (стане небазисною);

;

;

.

Це означає, що перейшли у інший ДБР (вершину В).

21. Теорема (условие оптимальности). Для дбр операция замещения, при которой вводится в базис, изменяет значение цф на величину Если , то оптимально. (Доказательство)

Докажем сначала I часть теоремы.

Как и ранее, будем предполагать, что переменные перенумерованы т.о., что первые столбцов матрицы составляют базис .

Обозначим значение ЦФ в точке через :

Операция замещения заключается в следующем:

начинаем увеличивать небазисную переменную , при этом некоторые базисные переменные уменьшаются и q-я переменная первой достигает нулевого значения, т.е. переменная входит в базис, а переменная – выходит из него.

- первой обращается в ноль

начинаем увеличивать

В результате операции замещения получаем новое ДБР , в котором:

(вошедшая из базиса переменная).

(остальные небазисные переменные).

: , и при этом

. (вышедшая из базиса переменная);

В векторной форме это записывается так (нумерация переменных сохраняется):

или .

Знайдемо значення ЦФ в точці :

.

Отже, перша частина теореми доведена.

Докажем II часть теоремы.

Покажем теперь, что из условия следует оптимальность .

По аналогии с вектором

построим вектор ,

где В – базисная матрица, соответствующая ДБР .

Тогда вектор

, т.к. и .

Можно записать, что

,

действительно

Итак вектор соответствует ДБР .

Пусть – произвольное допустимое решение исходной задачи (18) (не обязательно базисное), т.е. , .

Очевидно, что (скалярное произведение векторов с неотрицательными компонентами).

,

,

Отже оптимальний розв’язок. 