17. Доказательство того, что множество дбр системы конечно.

Теорема. Множество ДБР системы конечно.

Доказательство

Т.к. число различных подмножеств, состоящих из столбцов матрицы конечно, то конечно и число линейно независимых систем, составленных из векторов (это число ограничено величиной ).

Множество подмножеств по столбцов (его мощность )

Подмнож., сост. из

линейно независимых

столбцов (все возм. базисы)

Одному базису соотв. одно базисное решение!!!!

ДБР

Базисные решения

Теперь покажем, что одной линейно независимой системе векторов B соответствует единственное базисное решение, отсюда будет следовать конечность множества базисных решений.

Пусть вектора составляют базис B (т.е. они - линейно независимы). И пусть этому базису соответствует два различных базисных решения , т.е.

,

,

Тогда справедливо:

.

Т.к. решения и различны, то, по крайней мере, один коэффициент при отличен от нуля, что противоречит условию линейной независимости векторов .

Итак, множество базисных решений конечно. . Ч.Т.Д.

18. Принципиальная схема решения злп. Идея симплекс-метода.

Согласно фундаментальной теореме вместо исследования бесконечного множества ДР, необходимо рассмотреть лишь конечное число ДБР. Таким образом, принципиальная схема решения ЗЛП такова:

1. Найти все ДБР.

2. Вычислить для каждого из них соответствующее значение ЦФ Z.

3. Сравнить и определить наилучшее.

НО!!!!

Но, в общем случае при больших значениях и m количество БР (и, значит и ДБР) может быть огромным (порядка ) и практическое осуществление перебора всех ДБР станет невозможным.

Эти трудности обусловлены тем, что указанная принципиальная схема связана с беспорядочным перебором ДБР, без учета, насколько новое проверяемое ДБР изменяет ЦФ Z и приближает ли оно нас к искомому оптимуму.

Число анализируемых ДБР можно резко сократить, если их перебор производить целенаправленно, добиваясь монотонного изменения ЦФ, т.е. чтобы каждое следующее ДБР было лучше предыдущего (или по крайней мере не хуже).

Основной метод решения ЗЛП – симплекс – метод - базируется на идее последовательного улучшения решения. Очевидно, что для реализации этой идеи метод должен включать три основных элемента:

1. Способ определения исходного ДБР.

2. Критерий, по которому можно определить оптимальность найденного решения или необходимость его дальнейшего улучшения.

3. Правило перехода к следующему “лучшему” ДБР.

19. Преобразованная задача (вывод). Особенности преобразованной задачи в частных случаях применения симплекс-метода (вырожденность, альтернативный оптимум, неограниченное мдр, неограниченная цф).

Рассмотрим ЗЛП в канонической форме:

(1)

(2)

(3)

• Пусть нам известно, что некоторый вектор х – ДБР системы (2).

Не теряя общности, предположим, что первые столбцов матрицы образуют базис данного ДБР.

Матрицу, составленную из векторов – столбцов, принадлежащих базису, мы условились называть базисной матрицей, по определению – базисная матрица невырожденна.

Пусть

- базисная матрица ДБР (первые столбцов матрицы ).

– матрица, составленная из остальных столбцов матрицы .

Тогда

(4)

В соответствии с представлением (4) разобьем вектор на подвекторы и , т.е.

(5)

Переменные , соответствующие столбцам, вошедшим в базис, мы условились называть базисными переменными. Остальные переменные – небазисными.

где

• – вектор базисных переменных,

• – вектор небазисных переменных.

С учетом (4( и (5) систему (2) можно записать в виде:

(6)

Так как матрица невырожденна, то она имеет обратную матрицу . Домножим (6) слева на .

(7)

Система (7) эквивалентна системе (6), а, следовательно, и системе (2) .

?? Что означает эквивалентна??

• Разобьем вектор с на подвекторы и , в соответствии с разбиением матрицы А: .

Тогда задачу (1) –(3) можно записать в виде:

Подставим значение в ЦФ задачи:

Тогда исходная задача может быть представлена в виде:

Получили так называемую преобразованную задачу. Обозначим

Можно записать преобразованную задачу следующим образом:

(8)

(9)

(10)