14. Базис матрицы а. Базисная матрица в. Базисное решение. Дбр. Нахождение базисного решения. Невырожденное и вырожденное дбр.

def. Базисом ß матрицы А называется набор из линейно независимых столбцов ß .

def. Базисной матрицей называется – матрица, составленная из столбцов, входящих в базис ß:

.

def. Базисным решением, соответствующим базису , называется вектор , в котором

- при

- есть -я компонента вектора , где .

Таким образом, базисное решение можно найти с помощью следующей процедуры.

1. Выбрать множество , состоящее из m линейно независимых столбцов матрицы  .

2. Положить равными 0 все компоненты вектора , соответствующие столбцам, не входящим в ,. Эти переменные будем называть небазисными (их n-m) .

3. Решить полученных уравнений для определения оставшихся компонент вектора . Они будут называться базисными переменными (их m)

def. Решение называется допустимым базисным решением (ДБР), если оно является базисным и все его компоненты неотрицательны.

Если нулевой вектор является допустимым, то его всегда будем считать базисным.

def. ДБР называется невырожденным, если оно имеет точно положительных компонент (координат). Если число положительных компонент меньше , то решение называется вырожденным.

15. Теорема: Пусть - базисное решение. Тогда , где и (Элементы матрицы А и вектора b - целые числа ). (Доказательство)

16. Теорема: Вектор тогда и только тогда является допустимым базисным решением задачи , Ax=b, x>=0, когда точка является вершиной его многогранного множества Х. (Доказательство)

Доказательство:

В основу доказательства положено определение вершины.

Точка - является вершиной множества Х, если не существует точек таких что , при .

Необходимость Если х – ДБР, то точка х – вершина

Пусть - ДБР задачи (8).

• Если х=0, то этот вектор невозможно представить в виде , где и - допустимые решения, иначе какая-то из компонент одного из этих векторов должна быть отрицательна, т.е. недопустима, что противоречит предположению. Значит - вершина.

• Пусть и первых компонент отличны от нуля, т.е.

(если они не первые , то мы можем их перенумеровать,

отметим, что по определению ДБР).

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, в противоречие с теоремой, что точка не является вершиной многогранного множества , т.е. существуют такие

и

, что

, и , , .

Так как последние координат точки равны нулю, то и последние координат как точки , так и точки должны быть равны нулю (иначе и\или будут недопустимы). Т.о. можно записать:

В виду допустимости точек и имеем

(9)

и

(10)

Вычитая почленно (10) из (9), получим

(11)

Точки и различны, следовательно среди коэффициентов при векторах в (11) есть отличные от нуля, а это означает, что векторы линейно зависимы, что противоречит тому, что – ДБР.

Следовательно, наше предположение неверно и – вершина многогранного множества .

Достаточность: Если точка – вершина, то – ДБР.

Пусть, наоборот, точка – вершина .

Если , тогда – ДБР (по определению).

Пусть и для определенности

(Здесь не зависит от ).

Проведем доказательство от противного.

Предположим, что – допустимое, но небазисное решение. Тогда векторы – линейно зависимы, т.е. существуют такие не все равные нулю, что справедливо:

(12)

Являясь допустимым, вектор удовлетворяет условию

(13)

Умножим обе части равенства (12) на некоторое число :

(14)

Вычтем почленно из уравнения (13) уравнение (14), а затем сложим уравнения (13) и (14)

(13)-(14) (15)

(13)+(14) (16)

Так как , то, всегда, можно найти такое достаточно малое значение множителя , что в равенствах (15) и (16) все коэффициенты при векторах будут неотрицательны. А это означает, что -мерные векторы

и

являются допустимыми и причем различными решениями задачи.

Рассмотрим ВЛК этих точек

Но это противоречит тому, что – вершина . Следовательно не может не быть ДБР.