Формы злп. Эквивалентность форм злп.
1.Формы злп
Задача математического программирования вида:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
называется задачей линейного программирования (ЗЛП).
Ограничения неотрицательности могут накладываться не на все переменные, т.е. (5) могут иметь вид:
Эквивалентность различных форм злп
Все перечисленные формы ЗЛП являются эквивалентными в том смысле, что простыми преобразованиями задачу, имеющую одну из форм, легко привести к задаче, имеющей одну из оставшихся форм, причем по оптимальному решению построенной задачи легко найти оптимальное решение исходной задачи.
Следовательно, различные формы ЗЛП по существу являются различными формами записи ЗЛП.
Правила преобразования форм ЗЛП
А)
Минимизация ЦФ
эквивалентна максимизации ЦФ
.
Б)
Ограничение – неравенство «
»
с помощью введения неотрицательной
переменной
можно заменить на систему:
Согласно
экономической интерпретации ЗЛП,
исходное ограничение является ограничением
на использование некоторого ресурса
содержательный смысл переменной
- остаток ресурса. Поэтому переменная
- называется остаточной
переменной.
В) ограничение-неравенство « » с помощью введения неотрицательной переменной заменяют на систему.
Исходное ограничение можно интерпретировать как некоторые требования к процессу содержательный смысл переменной - величина превышения требований. Поэтому переменная - называется избыточной переменной.
Остаточные и избыточные переменные называются еще свободными, балансовыми, дополнительными.
Г) Ограничение-равенство можно заменить на два неравенства:
Д) Неравенство « » переводится в неравенство « » умножением его на –1.
Е) m ограничений-равенств можно заменить на (m+1) неравенство:
Проанализируем правую систему. Из нее следует m равенств, т.к. в сумме по i каждое слагаемое неположительно, а сумма неотрицательна. Следовательно, это точное равенство.
Ж)
Если на
не накладывается ограничения
неотрицательности, то введя новые две
неотрицательные переменные
,
исходную переменную
можно исключить путем замены:
.
Очевидно, всегда найдутся такие
неотрицательные
,
что их разность даст
.
З)
Если n
переменных
не имеют ограничений по знаку, то, введя
n+1
неотрицательную переменную
,
исходные переменные можно исключить
путем замены:
(это возможно при условии ограниченности
:
- чтобы можно было подобрать
).
И)
Поиск максимума функции от n переменных
можно заменить на поиск максимального
значения одной
переменной
t, введя в ограничения равенство:
.
Пример проведения к канонической форме.
Эквивалентность различных форм ЗЛП рассмотрим на примере стандартной и канонической форм [Ермольев, стр.15 ].
Пусть задана ЗЛП в стандартной форме.
(6)
В матричном виде:
(6')
Введем
m неотрицательных переменных
.
Построим с их помощью каноническую ЗЛП:
(7)
В этой задаче:
вектор переменных
матрица ограничений
вектор коэффициентов ЦФ
где
– единичная матрица размерности
.
В матричном виде это выглядит так:
(7')
Размерность задачи увеличилась.
Итак, под эквивалентностью форм задач (в нашем случае стандартной и канонической: по решению (допустимому или оптимальному) построенной задачи легко найти решение (допустимое или оптимальное) исходной задачи.
Пусть
-
допустимое решение задачи (6), то есть
,
тогда если мы вычислим вектор
,
(8)
и
добавим этот вектор к вектору
получим вектор
- допустимое решение задачи (7), так как
Таким
образом, для каждого допустимого решения
задачи (6) найдется единственное допустимое
решение
задачи (7), где
определяется соотношением (8).
Очевидно
и обратное, каждое допустимое решение
задачи (7)
определяет единственное допустимое
решение
задачи (6) (здесь все значительно проще
– просто отбрасываем подвектор
):
так как из того, что выполняется
(решение
допустимо для (7)), с учетом
имеем
(решение
допустимо
для (6)).
Так
как остаточные переменные
входят в целевую функцию (7) с нулевыми
коэффициентами, то значения
ЦФ
задач (6) и (7) при соответствующих
допустимых решениях одинаковы.
В частности, оптимальному решению задачи
(6) соответствует оптимальное решение
задачи (7) и наоборот.
Доказать Теорему: Пусть допустимое множество ЗЛП
,
является многогранником. Тогда ЦФ
достигает своего максимума в вершине
.
Если функция
принимает максимальное значение более
чем в одной точке, то она достигает того
же значения в любой точке, являющейся
их выпуклой линейной комбинацией.
Доказательство:
Докажем сначала 1-ю часть теоремы (максимум – в вершине).
Пусть
-
вершины многогранника
,
-
оптимальное решение задачи (согласно
теореме Вейерштрассе оно существует),
т.е.
для
.
Если - вершина, то первая часть теоремы доказана.
Если же точка не является вершиной многогранника Х, то она может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации его вершин:
.
Домножим
на
: 
.
Пусть
- максимальное значение ЦФ, достигаемое
в вершинах.
Если
и
,
то
-
средневзвешенное
меньше максимального значения.
5 ¼ 5 + ¾ 10 10
5 7 ВЛК 10
В
силу линейности функции
и того, что
имеем
.
Но,
по предположению, х*- оптимальное решение,
следовательно,
,
то есть существует вершина
,
в которой линейная функция
принимает максимальное значение.
Докажем теперь вторую часть теоремы.
Если принимает максимальное значение более чем в одной точке, то она принимает то же значение в каждой их выпуклой линейной комбинации.
Пусть
принимает максимальные значения в
точках
,
то есть
Возьмем некоторую выпуклую линейную комбинацию этих точек
.
.
Следовательно,
ЦФ
достигает максимального значения
в
произвольной точке х, являющейся выпуклой
линейной комбинацией точек
.
Ч.т.д.
Из этой теоремы вытекает, что множество оптимальных точек не может быть конечным, если оптимальная точка не единственна.