Теорема: Пусть х – выпуклое множество, x1, x2 , ….. , X k – произвольные точки из х. Тогда множество х содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.
Доведення:
Доведемо
за допомогою методу математичної
індукції (по числу точок
).
Ситуація,
коли
тривіальна.
При
твердження теореми збігається з
визначенням опуклої множини.
Нехай
будь-яка опукла лінійна комбінація
точок множини
належить даній множині.
Розглянемо
точок
.
Їх лінійна опукла комбінація:
.
Якщо
то
при
і
теорема справедлива.
Нехай
.
Тоді
.
Числа
,
- невід’ємні і їх сума дорівнює 1:
Отже,
вираз
– опукла лінійна комбінація точок
множини
.
За припущенням індукції
.
У
такому разі точка
є опуклою лінійною комбінацією двох
точок з
,
отже,
.▀
Гиперплоскость, полупространство, нормаль. Доказательство выпуклости гиперплоскости, полупространства
Теорема: Пересечение произвольного числа выпуклых множества является выпуклым множеством. (Доказательство)
Доказательство.
Рассмотрим
набор выпуклых множеств 
и
их пересечение:
.
Рассмотрим
также две произвольные точки 
.
По определению пересечения множеств,
точки 
и 
принадлежат
каждому множеству из набора
.
Так как каждое из этих множеств выпуклое,
то отрезок, соединяющий точки
и
,
также принадлежит каждому множеству
из
.
Отсюда, по свойству пересечения множеств,
следует, что этот отрезок принадлежит
и множеству 
,
а значит пересечение выпуклых множеств
действительно выпукло. Теорема доказана.
Следует отметить, что пересечение двух выпуклых тел не всегда является выпуклым телом
Многогранное множество. Многогранник. Внутренняя, граничная точка, вершина множества. Свойства вершин (Условия того, что точка x* будет вершиной многогранного множества Х) . Вырожденная, невырожденная вершины.
Теорема ( о представлении многогранника): Множество точек многогранника совпадает с множеством любых выпуклых линейных комбинаций его вершин. (Доказательство)
Задача линейного программирования. Экономическая интерпретация злп. Пропорциональность, аддитивность, неотрицательность Формы злп.
Задача математического программирования вида:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
называется задачей линейного программирования (ЗЛП).
Ограничения неотрицательности могут накладываться не на все переменные, т.е. (5) могут иметь вид:
Экономическая интерпретация злп
Определить
такие объемы производства каждого вида
продукции
,
при которых максимизируется доход (1) и
выполняются ограничения, накладываемые
на объёмы использования m
видов
ресурсов (2)-(4). [под ред. Дж.Моудера]
Основными допущениями, принимаемыми при построении линейных моделей, является
1) пропорциональность
2) аддитивность
3) неотрицательность.
Пропорциональность означает, что
затраты ресурсов на некоторый вид продукции прямо пропорциональны его объему выпуска,
вклад этого вида продукции в ЦФ также прямо пропорционален его объему выпуска.
Аддитивность означает, что общая величина ресурса, используемого на производство всех видов продукции, равна сумме затрат этого ресурса на отдельные виды продукции. Аналогично интерпретируется и ЦФ.
Допущения о пропорциональности и аддитивности обеспечивают строгую линейность соответствующих функций.
Неотрицательность в большинстве практических случаев естественна, хотя обусловлена еще и удобствами аналитического представления.