Постоптимальный анализ. Изменение компонент вектора ограничений. Недефицитный ресурс. (вывод соответствующих соотношений)
Постоптимальний аналіз (аналіз моделей на чутливість) – це процес, який реалізується після того, як оптимальний розв’язок задачі отримано. У процесі такого аналізу виявляється чутливість оптимального розв’язку до певних змін початкової моделі. Іншими словами, аналізується вплив можливих змін початкових умов на отриманий раніше оптимальний розв’язок.
При такому аналізі завжди розглядається деяка сукупність оптимізаційних моделей. Це надає моделі певної динамічності, яка дозволяє проаналізувати вплив можливих змін початкових умов на отриманий раніше оптимальний розв’язок. Відсутність методів, що дозволяють виявити вплив можливих змін параметрів моделі на оптимальний розв’язок, може призвести до того, що отриманий (статичний) розв’язок застаріє ще до своєї реалізації.
У постоптмальному аналізі досліджуються три класи параметрів:
–– коефіцієнти
вектора обмежень
;
–– коефіцієнти
вектора ЦФ
;
–– коефіцієнти матриці .
9.1 Аналіз зміни компонент вектора обмежень
Після знаходження оптимального розв’язку видається цілком логічним виявити, як позначиться на оптимальному розв’язку зміна запасів ресурсів (коефіцієнтів вектора обмежень ). Відзначимо, що нерівності моделі типу “” звичайно можуть бути інтерпретовані як обмеження на використання лімітованого ресурсу. А обмеження типу “” можуть бути інтерпретовані як деякі вимоги до процесу, що моделюється. Будемо в обох випадках використовувати термін “обмеження на використання ресурсу”, а праві частини обмежень називати “запасами ресурсів”.
Оскільки величина кожного запасу фіксується в правих частинах, цей вид аналізу зазвичай називають аналізом моделі на чутливість до зміни правої частини (обмежень).
Класифікуємо передусім обмеження лінійної моделі на зв’язуючі (активні) і не зв’язуючі (неактивні). Площина, яка представляє зв’язуюче обмеження, проходить через оптимальну точку. У противному разі відповідне обмеження буде незв’язуючим. Якщо деяке обмеження є зв’язуючим, логічно віднести відповідний ресурс до розряду дефіцитних ресурсів, оскільки він використовується повністю. Ресурс, з яким асоціюється незв’язуюче обмеження, потрібно віднести до розряду недефіцитних ресурсів (тобто таких, що є в деякому залишку).
Розглянемо вплив зміни правих частин обмежень на оптимум задачі.
Нехай е обмеження є обмеженням-нерівністю:
, |
|
|
|
,
,
.При приведенні до канонічної форми в обмеження вводиться додаткова змінна (якщо “” — залишкова, якщо “” — надлишкова).
(Примітка. У разі обмеження-рівності можна розглядати відповідну штучну змінну як невід’ємну залишкову, яка в допустимому розв’язку обов'язково буде небазисною.)
Визначимо
такий діапазон зміни величини
(запасу ресурсу), в якому поточний
розв’язок залишається оптимальним.
Нехай
.
9.1.1 Недефіцитний ресурс
Якщо
додаткова змінна
-го
обмеження базисна, то це обмеження є не
зв’язуючим (не активним в точці оптимуму),
а ресурс — недефіцитним.
Нехай в оптимальній точці ця додаткова
змінна прийняла значення
.
В цьому випадку значення дає діапазон зміни, в якому відповідний коефіцієнт може
– зменшуватися ( у випадку “” ),
– збільшуватися (у випадку “”),
(у протилежну сторону зміна не обмежена).
На рисунку 9.1 показано діапазон можливих змін коефіцієнта для обмеження виду “”, а на рисунку 9.2 – для обмеження виду “”.
Рисунок 9.1
Рисунок 9.2
Отже,
результат залишається допустимим
і оптимальним
в діапазоні
,
де
для
обмеження типу “”,
для
обмеження типу “”.
Приклад
Розглянемо
обмеження–нерівність
.
Приведемо
його до канонічної форми
.
Якщо
в оптимальному розв’язку
,
то вихідні змінні задачі (
)
задовольнятимуть нерівності
,
а також будь-який іншій нерівності
такого ж вигляду, але із значенням правої
частини, більшим ніж 80. Отже
,
або
.