3. Математические модели операций Детермінована модель

Нехай приймає значення , відоме нам. Введемо в цьому випадку позначення:

Тоді модель може бути записана в вигляді:

,

(1)

Цей запис означає, що необхідно знайти значення векторної змінної таке, при якому функція досягає мінімуму. Модель (1) називається задачею оптимізації.

Недетермінована модель

Якщо є векторною випадковою величиною з відомою імовірнісною мірою, то недетермінована модель називається стохастичною моделлю.

Якщо операція проводиться неодноразово і має значення середній результат, то математична модель має наступний вигляд:

,

.

Якщо операція проводиться одноразово, або не має значення середній результат (середня температура хворих, що знаходяться в реанімації; результат хірургічної операції для окремо взятого пацієнта; середнє відхилення від директивних термінів виконання), то модель може приймати вигляд:

,

.

Ці задачі називаються задачами стохастичної оптимізації.

Якщо не є випадковою величиною, або це випадкова величина з невідомою імовірнісною мірою, то маємо модель в умовах невизначеності. Така модель може приймати вигляд:

,

.

4. Классификация задач оптимизации

,

(1)

Цей запис означає, що необхідно знайти значення векторної змінної таке, при якому функція досягає мінімуму. Модель (1) називається задачею оптимізації.

Якщо , то задача (1) називається задачею безумовної оптимізації.

Якщо - власна підмножина , то (1) – задача умовної оптимізації.

Якщо визначається так: , а функції і , є диференційованими, то (1) – задача класичної оптимізації і записується у вигляді:

,

.

Під множиною простої структури в будемо розуміти множини типу:

а) невід’ємного октанта:

б) -мірного паралелепіпеда:

в) -мірної кулі.

Якщо визначається умовами:

де - множина простої структури, то (1) – загальна задача математичного програмування і записується у вигляді:

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)

Умови (6) називаються обмеженнями – нерівностями. Умови (7) називаються обмеженнями – рівностями. Умови (6) і (7) називаються функціональними обмеженнями задачі (5)- (8), а умови (8) - прямими обмеженнями задачі (5)- (8). Розділення обмежень на функціональні і прямі є умовним (вони можуть бути взаємно-зворотніми).

Функція виду називається афінною. Якщо , то функція називається лінійною.

Будь-яка афінна функція опукла на будь-якій опуклій множині .

Задача (1) називається задачею опуклої оптимізації, якщо - опукла функція, а множина - опукла множинаⁱ.

Якщо в задачі (5)–(8) – опукла функціяⁱⁱ, - опуклі функції, – афінні функції, - опукла множина, то задача (5)-(8) – загальна задача опуклого програмування.

Якщо в задачі (5)-(8) – лінійна функція, - афінні функції, – невід’ємний октант, то (5)-(8) – задача лінійного програмування.

Якщо в задачі (5)-(8) – квадратична функція, функції - афінні функції, – невід’ємний октант, то (5)-(8)- задача квадратичного програмування.

Якщо в задачі (5)-(8) множина - дискретна, то задача (5)- (8) – загальна задача дискретного програмування.

Якщо в задачі (5)-(8) є адитивними або мультиплікативними, то задача (5)-(8) - задача сепарабельного (separate – розділяти ) програмування.

Адитивна функції:

.

Мультиплікативна функція:

.

5. Применение классического аппарата математического анализа для решения ЗЛП: теорема Вейерштрассе, основные положения математического анализа для нахождения максимума дифференцируемой функции n переменных на замкнутом и ограниченном множестве, градиент, схема алгоритма решения.

Первым шагом в исследовании ЗЛП, естественно, является попытка применить для отыскания решения классический аппврат математического анализа и высшей алгебры.

3.1.1

Пусть X- замкнутое и ограниченное множество в , f - непрерывная функция на X. Тогда глобальное решение задачи f(x)max, xX существует.

Непрерывная функция на f(x) достигает на замкнутом ограниченном множестве своего максимума во внутренней или граничной точке.

f f

X X

f - непрерывная функция на X f – не является непрерывной функцией на X

f (в точке имеем разрыв)

X

f – не является непрерывной функцией на X (в точке имеем разрыв)

Теорема Вейерштрасса применима т. к первому случаю.

3.1.2.

Рассмотрим простейшую задачу нахождения максимума дифференцируемой функции одной переменной на отрезке:

Алгоритм, который дает для решения этой задачи математический анализ, таков:

• найти производную ;

• решить уравнение ; пусть те решения этого уравнения, которые принадлежат отрезку

• вычислить значения и выбрать из них наибольшее.

Сразу видно, что в этом простом случае могут возникнуть осложнения. Еще сложнее дело обстоит для функций нескольких переменных.

3.1.3.

Пусть

– замкнутое и ограниченное множество, ,

–функция n переменных, дифференцируемая на множестве .

Найти максимум функции на множестве :

Что рекомендует в этом случае классический анализ?

Вспомним сначала основные положения математического анализа для этого случая.

1. значение функции в окрестности точки растет быстрее всего, если в качестве вектора направления выбрать градиент функции в точке .

Вектор называется градиентом функции в точке и обозначается (i-ая компонента вектора равна значению частной производной по в точке ).

2. Если в достигается локальный максимум функции , то в этой точке нет направления, вдоль которого функция возрастает. Поэтому необходимым условием максимума функции во внутренней точке множества является равенство градиента нулевому вектору.

(Именно для внутренней точки. Т.к. это утверждение справедливо лишь в том случае когда из точки можно хоть немного сдвинуться по любому направлению, не выходя за пределы ).

Таким образом, для нахождения максимума функции на множестве надо:

1. найти все внутренние точки множества , в которых градиент равен нулевому вектору, т.е. найти все решения , системы уравнений

,

2. вычислить значения и значения во всех точках границы множества , а затем выбрать из них максимальное.

Применим эту схему к ЗЛП

.

Градиент ЦФ равен , он является величиной постоянной, не зависящей от точки вычисления. Ранее этот вектор мы назвали нормалью!!!

Следовательно, если не все равны нулю одновременно (в противном случае нет оптимизационной задачи), то у функции нет локальных максимумов. Значит, ее максимальное значение достигается на границе множества .

Т.о., основные вычислительные проблемы решения задач ЛП состоят в определении границы множества и организации вычислений значений функции в точках этой границы с тем, чтобы найти среди них наилучшее.

Т.о., наше внимание должно быть сосредоточено на границах многогранного множества , (а граничных точек - бесконечное число)