Получение решения задачи по решению двойственной задачи. Особенность симметричных задач
Розглянемо узагальнене формулювання двоїстої задачі ЛП, що може бути застосовне до будь-якої форми представлення початкової задачі. У її основу покладений той факт, що використання симплекс-метода вимагає приведення будь-якої ЗЛП до канонічної форми (усі обмеження – обмеження–рівності, усі змінні – невід’ємні). Таким чином, формулювання двоїстої задачі, що приводиться нижче, є узагальненим в тому сенсі, що воно може бути застосовано до усіх форм початкової задачі. Як буде показано нижче, при такому формулюванні двоїстої задачі автоматично враховуються знаки двоїстих змінних, що в інших випадках нерідко викликає непорозуміння.
Отримання розв’язку задачі за розв’язком двоїстої задачі
Це нам потрібно із таких причин:
- двоїсті змінні мають економічний зміст (пізніше ми покажемо, що вони дають значення цінностей ресурсів);
- іноді ДЗ розв’язати простіше, ніж ПЗ.
8.3.1 Спосіб 1 отримання розв’язку задачі за розв’язком ДЗ
Оптимальний розв’язок двоїстої задачі можна знайти із співвідношення
,
де
-
матриця, обернена до базисної, яка
відповідає оптимальному базису
ДБР
.
8.3.2 Спосіб 2 отримання розв’язку задачі за розв’язком ДЗ
Базується на співвідношеннях доповнюючої нежорсткості.
8.3.2.1 Загальний випадок
Розглянемо загальну ЗЛП (ПЗ)
,
,
,
,
.
Нехай і - розв’язки ПЗ і ДЗ відповідно. Випишемо для них СДН:
,
.
Згідно СДН, існує взаємозв'язок між –м рівнянням прямої задачі та змінною двоїстої задачі:
>
0
-е
рівняння
виконується як строга рівність
,
,
а
також між
–м
рівнянням двоїстої задачі і змінною
прямої
задачі:
>
0
-е
рівняння
виконується як строга рівність
.
Використовуємо теорему 2 двоїстості і співвідношення доповнюючої нежорсткості для розробки процедури знаходження розв’язку прямої задачі з розв’язком двоїстої. Дану процедуру називають алгоритмом двоїстості.
Нехай маємо деяку задачу оптимізації функції (пряму задачу) (в даному випадку не важливо – ПЗ на максимум чи на мінімум).
Соотношения дополняющей нежёсткости. Свойства взаимосвязанных пар переменных симметричной пары.
Властивості взаємозв'язаних пар змінних симетричної пари.
У
кожній парі одна змінна є основною
для однієї із задач (
і
),
а інша додатковою
для її двоїстої задачі
(залишковою
в ПЗ, або надлишковою
в ДЗ).
1. Якщо одна із змінних пари є базисною для своєї задачі, то відповідна їй змінна є небазисною в двоїстій задачі і навпаки.
2. Друга властивість слідує з СДН: якщо для оптимального розв’язку однієї з задач яке-небудь обмеження-нерівність задовольняється як строга нерівність, тобто залишкова змінна 0 або надлишкова змінна 0, то відповідна йому змінна в оптимальному розв’язку двоїстої задачі ( або ) дорівнює нулю. І навпаки, якщо якась змінна ( або ) в оптимальному розв’язку додатна (базисна), то відповідна їй нерівність двоїстої задачі її оптимальним розв’язком згортається в рівність.
Таким чином, співвідношення доповнюючої нежорсткості
;
для симетричних задач набувають дещо іншого вигляду.
В оптимальних розв’язках:
– якщо
> 0, то
,
значить
;
– якщо
,
то
,
отже
.
Тобто
або
або
= 0 (або і те і інше у разі
виродженості одного з розв’язків), що
еквівалентно
,
.
Аналогічно отримуємо, що
,
Отже, СДН для симетричних задач:
, ; |
(28) |
, . |
(29) |
Для несиметричних задач такого групування двоїстих змінних у взаємопов'язаної пари немає.
У симетричних задачах Крок 3 алгоритму двоїстості можна видозмінити.
Крок 3. Використовуючи відповідність між змінними прямої і двоїстої задач, і знаючи, які змінні двоїстої задачі є в оптимальному розв’язку базисними, а які ні, згідно СДН (28)–(29) визначити тим самим базисні та небазисні змінні в оптимальному розв’язку прямої задачі. У канонічній формі ПЗ небазисні змінні замінити на 0 і вирішити отриману квадратну систему рівнянь.