36. Доказательство утверждения (Следствие 2 теоремы двойственности 1):. Если цф пз не ограничена сверху, то двз не имеет допустимых решений.

Доведення

Нехай в протиріччя з твердженням наслідку, ПЗ має необмежену зверху ЦФ, а ДЗ має допустимий розв’язок. По умові наслідку ПЗ має допустимі розв’язки. Згідно теореми 1 для будь-якого допустимого розв’язку прямої задачі є значення ЦФ двоїстої задачі, яке обмежує зверху значення ЦФ ПЗ:

.

Але це є протиріччям до припущення про необмеженість ЦФ ПЗ. Приходимо до висновку, що двоїста задача не має допустимих розв’язків. ■

37. Теорема 2 (о равенстве значений пары двойственных задач). Пусть прямая и двойственная задачи имеют решения и соответственно. Тогда выполняется равенство… . (Доказательство)

Доведення

Доведення проведемо для несиметричної пари задач:

Пряма Двоїста

c xmax T b ymin T

Ax b A y c T 

x 0

Хай 0 x – ДБР, що є розв‘язком прямої задачі. Тоді існує базис Я ДБР 0 x , при якому вектор

відносних оцінок небазисних змінних буде невід‘ємний:

dN 0 . (25)

По аналогії вектору

dN сформуємо вектор

де B - базисна матриця, що відповідає базису Я ДБР 0 x .

За визначенням

(26)

Сформуємо вектор відносних оцінок усіх змінних

Визначимо 0 y рівністю:

Тоді, замінивши вираз

B на 0 y в нерівності (27), отримаємо

Після транспонування отримаємо:

A y c T 0 .

Звідси 0 y є допустимим розв‘язком двоїстої задачі. Визначимо значення ЦФ двоїстої задачі в цій

точці:

Звідси за наслідком 1 теореми 1 0 y є розв‘язком двоїстої задачі, причому значення задач

збігаються. ■

Остання теорема дає нам один із способів знаходження оптимального розв‘язку двоїстої задачі.

Його можна знайти із співвідношення

де B - базисна матриця, що відповідає оптимальному базису Я ДБР 0 x .

При розв‘язанні прямої задачі можлива тільки одна із наступних ситуацій (що взаємно

виключають одна одну):

I Пряма задача має розв‘язок

II Цільова функція необмежена зверху на множині допустимих розв‘язків

III Пряма задача не має розв‘язків.

Аналогічно, при рішенні двоїстої задачі можлива тільки одна з наступних ситуацій (що взаємно

виключають одна одну):

I‘ Двоїста задача має розв‘язок.

II‘ Цільова функція двоїстої задачі не обмежена знизу на множині допустимих

розв‘язків.

III‘ Двоїста задача не має допустимих розв‘язків.

Комбінуючи попарно ситуації I, II, III з I‘, II‘, III‘ отримуємо, що принципово можливі наступні 9

пар, які можна представити у вигляді таблиці 3.

I (OK) II () III

38. Завершить высказывания (и дать обоснование их справедливости):

А) «Если множество допустимых решений ПЗ есть пустое множество, то множество допустимых решений ДЗ ……..».

Б) «Если ПЗ имеет ограничение-равенство и множество допустимых решений не пустое, то соответствующая ценность ресурса ……. нуля (нулю).

В) «Если какая-то переменная ПЗ не ограничена в знаке, то соответствующее ограничение ДвЗ имеет знак ……..»

39. Доказательство утверждений, на которых базируется третий способ нахождения ценностей ресурсов:

А). В симметричной паре двойственных задач оптимальные значения двойственных переменных задаются относительными оценками остаточных переменных прямой задачи в точке оптимума

Б) В симметричной паре двойственных задач оптимальные значения двойственных переменных задаются относительными оценками избыточных переменных ДЗ в точке оптимума, взятыми со знаком «-».