8.1.3 Несиметрична пара двоїстих задач

Будується за визначенням ДЗ згідно п'яти правил її побудови.

Пряма задача

,	(7)
,	(8)
.	(9)

Двоїста задача

,	(10)
,	(11)
.	(12)

Символи “ ” означають, що немає обмежень на знак змінної.

Самостійно показати, що задача, двоїста до задачі (10)–(12) збігається із задачею (7)–(9) (не забути привести ДЗ (яка при побудові виступає як пряма) до канонічної форми).

33. Симметричная и несимметричная пары двойственных задач. Построение двойственной задачи для ЗЛП в общей форме (с наличием ограничений вида "<=", "=", ">=" и переменных, не ограниченных в знаке)

34. Теорема 1 (соотношения двойственности).Пусть прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения. И пусть x и y – это допустимые решения прямой и двойственной задач соответственно. Тогда справедливо неравенство , при чём для достижения равенства необходимо и достаточно выполнение условий: ; .) (Доказательство)

Доведення.

Не втрачаючи загальності, доведення теореми проведемо для симетричної пари двоїстих задач. У ній пряма задача має вигляд:

,	(16)
,	(17)
,	(18)

а двоїста:

	(19)
	(20)
	(21)

Спочатку доведемо першу частину теореми.

Помножимо у нерівність з системи (17) на відповідну їй змінну . Тоді з урахуванням невід’ємності (співвідношень (21)) отримуємо:

,

просумувавши по , приходимо до нерівності:

.

(22)

Аналогічно з (20) з урахуванням (18) отримуємо:

.

(23)

Ліві частини нерівностей (22) і (23) відрізняються тільки порядком підсумовування, значить

(24)

.

Тобто співвідношення (13) справедливе.

Тепер доведемо другу частину теореми.

Необхідність

Нехай співвідношення (13) виконується як рівність. Покажемо, що при цьому виконуватимуться умови (14) і (15).

Якщо (13) - рівність, то подвійна нерівність (24) виконується як строга рівність:

.

Розглянемо праву частину співвідношення.

,

.

В силу (17) і (21) кожний з доданків в сумі по не додатній, а оскільки їх сума дорівнює нулю, то і кожний з доданків дорівнюватиме нулю. Тобто маємо

.

Таким чином довели необхідність виконання співвідношень (14) при рівності в (13). Аналогічно з (24) отримаємо необхідність (15).

Достатність

Достатність (2) і (3) для досягнення рівності в (1) очевидна: їх треба просумувати по та відповідно:

Звідки слідує . Що і потрібно було довести. ■

35. Доказательство утверждения (Следствие 1 теоремы двойственности 1): Пусть – допустимые решения прямой и двойственной задачи, для которых выполняется: . Тода – являются решениями прямой и двойственной задач соответственно

Пусть – допустимые решения прямой и двойственной задачи, для которых выполняется: . Тода – являются решениями прямой и двойственной задач соответственно

.