30. Искусственное начальное решение. Двухэтапный метод. Особые случаи, возникающие при применении метода. Штучний початковий розв’язок

Хай маємо ЗЛП в канонічній формі:

Ідея підходу припускає включення невід’ємних змінних в ліву частину кожного з рівнянь, що не містять «очевидних» початкових базисних змінних, тобто тих змінних, які входять тільки в одне рівняння з коефіцієнтом 1 (у симплекс-таблиці їй відповідає одиничний стовпець ).

Введемо в -е рівняння невід’ємну змінну :

,

,

…

,

…

.

Оскільки ці змінні не мають відношення до змісту поставленої задачі, вони отримали назву «штучних». Визначимо вектор штучних змінних:

.

Тоді система обмежень в матричній формі має вигляд: .

Штучні змінні забезпечують отримання початкового базису, тобто виконують ту ж роль, що і залишкові змінні (тобто вони використовуються тільки для отримання «стартової» точки).

Т.ч. початкове штучне рішення: .

Введення штучних змінних допустимо тільки в тому випадку, якщо відповідна схема обчислень змушуватиме ці змінні набувати нульових значень в кінцевому оптимальному розв’язку, забезпечуючи допустимість оптимуму. Для цього потрібно накласти «штраф» за використання штучних змінних. Розроблені два тісно зв'язаних між собою методи отримання початкового ДБР, в яких використовується «штрафування» штучних змінних:

–– -метод (або метод великих штрафів);

–– двохетапний метод.

Двохетапний метод

Двохетапний метод не має вказаних недоліків -методу. При використанні двохетапного методу штучні змінні вводяться так само, як і в -методі. Проте коефіцієнти при цьому не фігурують, що досягається розбиттям задачі на два етапи.

Введення штучних змінних може інтерпретуватися як введення в модель зручних нам змін (обурень, неув’язок). Оскільки в початковому ДБР штучні змінні приймають ненульові значення, то напівпростори, відповідні обмеженням «≥», «розвертають» у зворотний бік, а гіперплощини «перетворюються» на напівпростори.

Сказане проілюструємо на наступному прикладі.

Приклад.

Початкова ЗЛП	ЗЛП в канонічній формі	ЗЛП зі штучними змінними

На рисунку 1 наведена графічна ілюстрація множини допустимих розв’язків (МДР) початкової задачі. У неї МДР є відрізком.

Рисунок 1

В початковому розв’язку маємо: , . З урахуванням того, що в ньому , МДР “нової” задачи є чотирикутником (рисунок 2).

Рисунок 2

Отримана модель відрізняється від початкової в тій мірі, в якій штучні змінні відмінні від нуля. Тому на першому етапі проводиться мінімізація цих відмінностей від початкової моделі. При цьому суму штучних змінних можна розглядати як суму неув’язок.

Нехай маємо ЗЛП :

(1)

Сформулюємо додаткову ЗЛП.

(2)

Двохетапний метод базується на наступних твердженнях.

Твердження 1. Якщо початкова задача (1) має допустимий розв’язок, то в оптимальному розв’язку задачі (2) компоненти вектора дорівнюють нулю.

Доведення.

Нехай – деякий допустимий розв’язок задачі (1). Тоді -мірний вектор – допустимий розв’язок задачі (2), для якого значення ЦФ . З урахуванням того, що для будь-якого допустимого розв’язку задачі (2), значення ЦФ , тоді розв’язок є найкращим із всіх можливих, тобто оптимальним. 

Твердження 2. Якщо в оптимальному розв’язку задачі (2) деякі компоненти вектора відмінні від нуля, то початкова задача (1) не має розв’язків.

Доведення (від супротивного).

Припустимо, що початкове завдання (1) має допустимі розв’язки. Хай – одне з них. Тоді вектор є допустимим розв’язком задачі (2), якому відповідає значення ЦФ , що суперечить умові твердження (у оптимальному розв’язку (2) оскільки є ).

31. Искусственное начальное решение. Двухэтапный метод (идея). Доказательство теорем:

Теорема 1. Если исходная задача имеет допустимое решение, то в ….

Теорема 2. Если в оптимальном решении вспомогательной задачи некоторые компоненты вектора ....

Хай маємо ЗЛП в канонічній формі:

Ідея підходу припускає включення невід’ємних змінних в ліву частину кожного з рівнянь, що не містять «очевидних» початкових базисних змінних, тобто тих змінних, які входять тільки в одне рівняння з коефіцієнтом 1 (у симплекс-таблиці їй відповідає одиничний стовпець ).

Введемо в -е рівняння невід’ємну змінну :

,

,

…

,

…

.

Оскільки ці змінні не мають відношення до змісту поставленої задачі, вони отримали назву «штучних». Визначимо вектор штучних змінних:

.

Тоді система обмежень в матричній формі має вигляд: .

Штучні змінні забезпечують отримання початкового базису, тобто виконують ту ж роль, що і залишкові змінні (тобто вони використовуються тільки для отримання «стартової» точки).

Т.ч. початкове штучне рішення: .

Введення штучних змінних допустимо тільки в тому випадку, якщо відповідна схема обчислень змушуватиме ці змінні набувати нульових значень в кінцевому оптимальному розв’язку, забезпечуючи допустимість оптимуму. Для цього потрібно накласти «штраф» за використання штучних змінних. Розроблені два тісно зв'язаних між собою методи отримання початкового ДБР, в яких використовується «штрафування» штучних змінних:

–– -метод (або метод великих штрафів);

–– двохетапний метод.

Двохетапний метод не має вказаних недоліків -методу. При використанні двохетапного методу штучні змінні вводяться так само, як і в -методі. Проте коефіцієнти при цьому не фігурують, що досягається розбиттям задачі на два етапи.

Введення штучних змінних може інтерпретуватися як введення в модель зручних нам змін (обурень, неув’язок). Оскільки в початковому ДБР штучні змінні приймають ненульові значення, то напівпростори, відповідні обмеженням «≥», «розвертають» у зворотний бік, а гіперплощини «перетворюються» на напівпростори.

Двохетапний метод базується на наступних твердженнях.

Твердження 1. Якщо початкова задача (1) має допустимий розв’язок, то в оптимальному розв’язку задачі (2) компоненти вектора дорівнюють нулю.

Доведення.

Нехай – деякий допустимий розв’язок задачі (1). Тоді -мірний вектор – допустимий розв’язок задачі (2), для якого значення ЦФ . З урахуванням того, що для будь-якого допустимого розв’язку задачі (2), значення ЦФ , тоді розв’язок є найкращим із всіх можливих, тобто оптимальним. 

Твердження 2. Якщо в оптимальному розв’язку задачі (2) деякі компоненти вектора відмінні від нуля, то початкова задача (1) не має розв’язків.

Доведення (від супротивного).

Припустимо, що початкове завдання (1) має допустимі розв’язки. Хай – одне з них. Тоді вектор є допустимим розв’язком задачі (2), якому відповідає значення ЦФ , що суперечить умові твердження (у оптимальному розв’язку (2) оскільки є ).

32. Двойственная задача. Правила построения двойственной задачи ЛП. Симметричные и несимметричные пары двойственных задач. Показать, что согласно правилам построения ДЗ в симметричной паре задача с^Tx-> mах является двойственной к задаче b^Ty-> min.