6.2 Штучний початковий розв’язок
Хай маємо ЗЛП в канонічній формі:
Ідея підходу припускає включення невід’ємних змінних в ліву частину кожного з рівнянь, що не містять «очевидних» початкових базисних змінних, тобто тих змінних, які входять тільки в одне рівняння з коефіцієнтом 1 (у симплекс-таблиці їй відповідає одиничний стовпець ).
Введемо в -е рівняння невід’ємну змінну :
,
,
…
,
…
.
Оскільки ці змінні не мають відношення до змісту поставленої задачі, вони отримали назву «штучних». Визначимо вектор штучних змінних:
.
Тоді система обмежень в матричній формі має вигляд: .
Штучні змінні забезпечують отримання початкового базису, тобто виконують ту ж роль, що і залишкові змінні (тобто вони використовуються тільки для отримання «стартової» точки).
Т.ч. початкове штучне рішення: .
Введення штучних змінних допустимо тільки в тому випадку, якщо відповідна схема обчислень змушуватиме ці змінні набувати нульових значень в кінцевому оптимальному розв’язку, забезпечуючи допустимість оптимуму. Для цього потрібно накласти «штраф» за використання штучних змінних. Розроблені два тісно зв'язаних між собою методи отримання початкового ДБР, в яких використовується «штрафування» штучних змінних:
–– -метод (або метод великих штрафів);
–– двохетапний метод.
6.3 - метод
В
цьому методі штучні змінні вводяться
в обмеження так, як це описано в п. 6.2.
При введенні ж до складу ЦФ кожній
змінній
приписується штраф – достатньо великий
по модулю від’ємний коефіцієнт
.
Такий спосіб введення штучних змінних
приводить до наступної лінійної моделі:
де
вектор
,
.
У
задачі
на мінімум
кожній змінній
приписується достатньо
великий додатній
коефіцієнт
.
Розглянемо тепер, яким чином «нова» структура моделі автоматично приводить до того, що на кінцевій стадії процесу оптимізації змінні набувають нульового значення. Оскільки ми маємо справу із задачею на відшукання максимуму, а змінним у ЦФ приписаний великий по абсолютній величині коефіцієнт , то метод оптимізації, направлений на знаходження максимального значення ЦФ, приведе до того, що змінні в оптимальному розв’язку перетворяться у нуль.
Визначимо
компоненти перетвореної задачі,
відповідній початковому розв’язку, в
якому
:
.
Числові значення ДБР (значення базисних змінних і відповідне значення ЦФ):
,
.
Компоненти вектора відносних оцінок небазисних змінних:
,
коефіцієнт при небазисній змінній :
(
– сума коефіцієнтів вектор–стовпця
).
При застосуванні табличного симплекс-метода після отримання початкового ДБР необхідно перетворити - рядок так, щоб початковий розв’язок в явному вигляді фігурував в стовпці, що характеризує праві частини всіх рівнянь моделі. Для цього
з
відповідних обмежень задачі базисні
(у нашому випадку – штучні) змінні
виражаються через небазисні:
,
;
вирази для штучних змінних підставляються в ЦФ :
,
,
.
Якщо початкова задача – задача на мінімум, то при штучних змінних в - рядку усі коефіцієнти будуть мати протилежний знак:
